Integral de e^(3*x+1)+(5/(5+x^2)) dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 3 x + 1$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{3 x + 1}}{3}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $e^{3 x + 1} = e e^{3 x}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int e e^{3 x}\, dx = e \int e^{3 x}\, dx$

         1. que $u = 3 x$.

            Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{3 x}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e e^{3 x}}{3}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $e^{3 x + 1} = e e^{3 x}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int e e^{3 x}\, dx = e \int e^{3 x}\, dx$

         1. que $u = 3 x$.

            Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{3 x}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e e^{3 x}}{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{5}{x^{2} + 5}\, dx = 5 \int \frac{1}{x^{2} + 5}\, dx$

      PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=5, context=1/(x**2 + 5), symbol=x), True), (ArccothRule(a=1, b=1, c=5, context=1/(x**2 + 5), symbol=x), False), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=5, context=1/(x**2 + 5), symbol=x), False)], context=1/(x**2 + 5), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{5} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}$

   El resultado es: $\frac{e^{3 x + 1}}{3} + \sqrt{5} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{e^{3 x + 1}}{3} + \sqrt{5} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{e^{3 x + 1}}{3} + \sqrt{5} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{e^{3 x + 1}}{3} + \sqrt{5} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}+ \mathrm{constant}$