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Resolución de integrales/ cos2x/ x+cosx/ (sinx+cosx)^2cos2x

Integral de (sinx+cosx)^2cos2x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                               
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 |                   2            
 |  (sin(x) + cos(x)) *cos(2*x) dx
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0
∫01(sin⁡(x)+cos⁡(x))2cos⁡(2x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(2 x \right)}\, dx 
Integral((sin(x) + cos(x))^2*cos(2*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sin⁡(x)+cos⁡(x))2cos⁡(2x)=sin⁡2(x)cos⁡(2x)+2sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(2x)+cos⁡2(x)cos⁡(2x)\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(2 x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡2(x)cos⁡(2x)=2sin⁡2(x)cos⁡2(x)−sin⁡2(x)\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2sin⁡2(x)cos⁡2(x) dx=2∫sin⁡2(x)cos⁡2(x) dx\int 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            sin⁡2(x)cos⁡2(x)=(12−cos⁡(2x)2)(cos⁡(2x)2+12)\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)

          2. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos dudu:

            ∫(18−cos⁡2(u)8) du\int \left(\frac{1}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du

            1. Integramos término a término:

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫18 du=u8\int \frac{1}{8}\, du = \frac{u}{8}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−cos⁡2(u)8) du=−∫cos⁡2(u) du8\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{8}

                1. Vuelva a escribir el integrando:

                  cos⁡2(u)=cos⁡(2u)2+12\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}

                2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(2u)2 du=∫cos⁡(2u) du2\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}

                    1. que u=2uu = 2 u.

                      Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                      ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                        1. La integral del coseno es seno:

                          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                      Si ahora sustituir uu más en:

                      sin⁡(2u)2\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2u)4\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                    ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

                  El resultado es: u2+sin⁡(2u)4\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: −u16−sin⁡(2u)32- \frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}

              El resultado es: u16−sin⁡(2u)32\frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}

            Si ahora sustituir uu más en:

            x8−sin⁡(4x)32\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

          Por lo tanto, el resultado es: x4−sin⁡(4x)16\frac{x}{4} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−sin⁡2(x)) dx=−∫sin⁡2(x) dx\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

              1. que u=2xu = 2 x.

                Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

            El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −x2+sin⁡(2x)4- \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        El resultado es: −x4+sin⁡(2x)4−sin⁡(4x)16- \frac{x}{4} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(2x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(2x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡3(x)−sin⁡(x)cos⁡(x)\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2sin⁡(x)cos⁡3(x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡3(x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx

            1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

              Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

              ∫(−u3) du\int \left(- u^{3}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u3 du=−∫u3 du\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: −u44- \frac{u^{4}}{4}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡4(x)4- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡4(x)2- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−sin⁡(x)cos⁡(x)) dx=−∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

            1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

              Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

              ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: cos⁡2(x)2\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

          El resultado es: −cos⁡4(x)2+cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡4(x)+cos⁡2(x)- \cos^{4}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos⁡2(x)cos⁡(2x)=2cos⁡4(x)−cos⁡2(x)\cos^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 2 \cos^{4}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2cos⁡4(x) dx=2∫cos⁡4(x) dx\int 2 \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos⁡4(x)=(cos⁡(2x)2+12)2\cos^{4}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}

          2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              (cos⁡(2x)2+12)2=cos⁡2(2x)4+cos⁡(2x)2+14\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡2(2x)4 dx=∫cos⁡2(2x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

                1. Vuelva a escribir el integrando:

                  cos⁡2(2x)=cos⁡(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

                2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

                    1. que u=4xu = 4 x.

                      Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                      ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                        1. La integral del coseno es seno:

                          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                      Si ahora sustituir uu más en:

                      sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                    ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

                  El resultado es: x2+sin⁡(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

                Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(4x)32\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

                1. que u=2xu = 2 x.

                  Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                  ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

              El resultado es: 3x8+sin⁡(2x)4+sin⁡(4x)32\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              (cos⁡(2x)2+12)2=cos⁡2(2x)4+cos⁡(2x)2+14\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡2(2x)4 dx=∫cos⁡2(2x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

                1. Vuelva a escribir el integrando:

                  cos⁡2(2x)=cos⁡(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

                2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

                    1. que u=4xu = 4 x.

                      Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                      ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                        1. La integral del coseno es seno:

                          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                      Si ahora sustituir uu más en:

                      sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                    ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

                  El resultado es: x2+sin⁡(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

                Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(4x)32\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

                1. que u=2xu = 2 x.

                  Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                  ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

              El resultado es: 3x8+sin⁡(2x)4+sin⁡(4x)32\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

          Por lo tanto, el resultado es: 3x4+sin⁡(2x)2+sin⁡(4x)16\frac{3 x}{4} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡2(x)) dx=−∫cos⁡2(x) dx\int \left(- \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

              1. que u=2xu = 2 x.

                Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

            El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −x2−sin⁡(2x)4- \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        El resultado es: x4+sin⁡(2x)4+sin⁡(4x)16\frac{x}{4} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16}

      El resultado es: sin⁡(2x)2−cos⁡4(x)+cos⁡2(x)\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - \cos^{4}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sin⁡(x)+cos⁡(x))2cos⁡(2x)=sin⁡2(x)cos⁡(2x)+2sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(2x)+cos⁡2(x)cos⁡(2x)\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(2 x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡2(x)cos⁡(2x)=2sin⁡2(x)cos⁡2(x)−sin⁡2(x)\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2sin⁡2(x)cos⁡2(x) dx=2∫sin⁡2(x)cos⁡2(x) dx\int 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            sin⁡2(x)cos⁡2(x)=(12−cos⁡(2x)2)(cos⁡(2x)2+12)\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)

          2. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos dudu:

            ∫(18−cos⁡2(u)8) du\int \left(\frac{1}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du

            1. Integramos término a término:

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫18 du=u8\int \frac{1}{8}\, du = \frac{u}{8}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−cos⁡2(u)8) du=−∫cos⁡2(u) du8\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{8}

                1. Vuelva a escribir el integrando:

                  cos⁡2(u)=cos⁡(2u)2+12\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}

                2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(2u)2 du=∫cos⁡(2u) du2\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}

                    1. que u=2uu = 2 u.

                      Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                      ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                        1. La integral del coseno es seno:

                          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                      Si ahora sustituir uu más en:

                      sin⁡(2u)2\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2u)4\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                    ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

                  El resultado es: u2+sin⁡(2u)4\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: −u16−sin⁡(2u)32- \frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}

              El resultado es: u16−sin⁡(2u)32\frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}

            Si ahora sustituir uu más en:

            x8−sin⁡(4x)32\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

          Por lo tanto, el resultado es: x4−sin⁡(4x)16\frac{x}{4} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−sin⁡2(x)) dx=−∫sin⁡2(x) dx\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

              1. que u=2xu = 2 x.

                Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

            El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −x2+sin⁡(2x)4- \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        El resultado es: −x4+sin⁡(2x)4−sin⁡(4x)16- \frac{x}{4} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(2x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(2x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡3(x)−sin⁡(x)cos⁡(x)\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2sin⁡(x)cos⁡3(x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡3(x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx

            1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

              Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

              ∫(−u3) du\int \left(- u^{3}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u3 du=−∫u3 du\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: −u44- \frac{u^{4}}{4}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡4(x)4- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡4(x)2- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−sin⁡(x)cos⁡(x)) dx=−∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

            1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

              Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

              ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: cos⁡2(x)2\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

          El resultado es: −cos⁡4(x)2+cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡4(x)+cos⁡2(x)- \cos^{4}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos⁡2(x)cos⁡(2x)=2cos⁡4(x)−cos⁡2(x)\cos^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 2 \cos^{4}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2cos⁡4(x) dx=2∫cos⁡4(x) dx\int 2 \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos⁡4(x)=(cos⁡(2x)2+12)2\cos^{4}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}

          2. Vuelva a escribir el integrando:

            (cos⁡(2x)2+12)2=cos⁡2(2x)4+cos⁡(2x)2+14\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

          3. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡2(2x)4 dx=∫cos⁡2(2x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                cos⁡2(2x)=cos⁡(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

              2. Integramos término a término:

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

                  1. que u=4xu = 4 x.

                    Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                    ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                      ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                      1. La integral del coseno es seno:

                        ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                      Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                    Si ahora sustituir uu más en:

                    sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

                El resultado es: x2+sin⁡(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

              Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(4x)32\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

              1. que u=2xu = 2 x.

                Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

            El resultado es: 3x8+sin⁡(2x)4+sin⁡(4x)32\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

          Por lo tanto, el resultado es: 3x4+sin⁡(2x)2+sin⁡(4x)16\frac{3 x}{4} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡2(x)) dx=−∫cos⁡2(x) dx\int \left(- \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

              1. que u=2xu = 2 x.

                Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

            El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −x2−sin⁡(2x)4- \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        El resultado es: x4+sin⁡(2x)4+sin⁡(4x)16\frac{x}{4} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16}

      El resultado es: sin⁡(2x)2−cos⁡4(x)+cos⁡2(x)\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - \cos^{4}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sin⁡(x)+cos⁡(x))2cos⁡(2x)=2sin⁡2(x)cos⁡2(x)−sin⁡2(x)+4sin⁡(x)cos⁡3(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)+2cos⁡4(x)−cos⁡2(x)\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(2 x \right)} = 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 2 \cos^{4}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2sin⁡2(x)cos⁡2(x) dx=2∫sin⁡2(x)cos⁡2(x) dx\int 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin⁡2(x)cos⁡2(x)=(12−cos⁡(2x)2)(cos⁡(2x)2+12)\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)

        2. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos dudu:

          ∫(18−cos⁡2(u)8) du\int \left(\frac{1}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫18 du=u8\int \frac{1}{8}\, du = \frac{u}{8}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−cos⁡2(u)8) du=−∫cos⁡2(u) du8\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{8}

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                cos⁡2(u)=cos⁡(2u)2+12\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}

              2. Integramos término a término:

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(2u)2 du=∫cos⁡(2u) du2\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}

                  1. que u=2uu = 2 u.

                    Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                    ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                      ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                      1. La integral del coseno es seno:

                        ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                      Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                    Si ahora sustituir uu más en:

                    sin⁡(2u)2\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2u)4\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

                El resultado es: u2+sin⁡(2u)4\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

              Por lo tanto, el resultado es: −u16−sin⁡(2u)32- \frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}

            El resultado es: u16−sin⁡(2u)32\frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x8−sin⁡(4x)32\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

        Por lo tanto, el resultado es: x4−sin⁡(4x)16\frac{x}{4} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡2(x)) dx=−∫sin⁡2(x) dx\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −x2+sin⁡(2x)4- \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4sin⁡(x)cos⁡3(x) dx=4∫sin⁡(x)cos⁡3(x) dx\int 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u3) du\int \left(- u^{3}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u3 du=−∫u3 du\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: −u44- \frac{u^{4}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡4(x)4- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡4(x)- \cos^{4}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2sin⁡(x)cos⁡(x)) dx=−2∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: cos⁡2(x)\cos^{2}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2cos⁡4(x) dx=2∫cos⁡4(x) dx\int 2 \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡4(x)=(cos⁡(2x)2+12)2\cos^{4}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}

        2. Vuelva a escribir el integrando:

          (cos⁡(2x)2+12)2=cos⁡2(2x)4+cos⁡(2x)2+14\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

        3. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡2(2x)4 dx=∫cos⁡2(2x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos⁡2(2x)=cos⁡(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

                1. que u=4xu = 4 x.

                  Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                  ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

              El resultado es: x2+sin⁡(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

            Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(4x)32\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

          El resultado es: 3x8+sin⁡(2x)4+sin⁡(4x)32\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x4+sin⁡(2x)2+sin⁡(4x)16\frac{3 x}{4} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡2(x)) dx=−∫cos⁡2(x) dx\int \left(- \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −x2−sin⁡(2x)4- \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      El resultado es: sin⁡(2x)2−cos⁡4(x)+cos⁡2(x)\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - \cos^{4}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    sin⁡(2x)2−cos⁡4(x)+cos⁡2(x)+constant\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - \cos^{4}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

sin⁡(2x)2−cos⁡4(x)+cos⁡2(x)+constant\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - \cos^{4}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                 
 |                                                                  
 |                  2                      2      sin(2*x)      4   
 | (sin(x) + cos(x)) *cos(2*x) dx = C + cos (x) + -------- - cos (x)
 |                                                   2              
/
∫(sin⁡(x)+cos⁡(x))2cos⁡(2x) dx=C+sin⁡(2x)2−cos⁡4(x)+cos⁡2(x)\int \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(2 x \right)}\, dx = C + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - \cos^{4}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902.5-2.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
     2                  2                                                          
  cos (1)*sin(2)   3*sin (1)*sin(2)   cos(1)*sin(1)*sin(2)                         
- -------------- + ---------------- + -------------------- + 2*cos(1)*cos(2)*sin(1)
        2                 2                    2
2sin⁡(1)cos⁡(1)cos⁡(2)−sin⁡(2)cos⁡2(1)2+sin⁡(1)sin⁡(2)cos⁡(1)2+3sin⁡2(1)sin⁡(2)22 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos{\left(2 \right)} - \frac{\sin{\left(2 \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(1 \right)} \sin{\left(2 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{3 \sin^{2}{\left(1 \right)} \sin{\left(2 \right)}}{2} 
=
= 
     2                  2                                                          
  cos (1)*sin(2)   3*sin (1)*sin(2)   cos(1)*sin(1)*sin(2)                         
- -------------- + ---------------- + -------------------- + 2*cos(1)*cos(2)*sin(1)
        2                 2                    2
2sin⁡(1)cos⁡(1)cos⁡(2)−sin⁡(2)cos⁡2(1)2+sin⁡(1)sin⁡(2)cos⁡(1)2+3sin⁡2(1)sin⁡(2)22 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos{\left(2 \right)} - \frac{\sin{\left(2 \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(1 \right)} \sin{\left(2 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{3 \sin^{2}{\left(1 \right)} \sin{\left(2 \right)}}{2} 
-cos(1)^2*sin(2)/2 + 3*sin(1)^2*sin(2)/2 + cos(1)*sin(1)*sin(2)/2 + 2*cos(1)*cos(2)*sin(1)
Respuesta numérica [src] 
0.661354166020792
0.661354166020792

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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