Integral de (sinx+cosx)^2cos2x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(2 x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)$

            2. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $du$:

               $\int \left(\frac{1}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du$

               1. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{8}\, du = \frac{u}{8}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{8}$

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

                     2. Integramos término a término:

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$

                           1. que $u = 2 u$.

                              Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                              $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                                 $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                                 1. La integral del coseno es seno:

                                    $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                                 Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                              Si ahora sustituir $u$ más en:

                              $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                        El resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}$

                  El resultado es: $\frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x}{4} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

                  1. que $u = 2 x$.

                     Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                        1. La integral del coseno es seno:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

               El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         El resultado es: $- \frac{x}{4} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{3}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u\, du = - \int u\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

            El resultado es: $- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \cos^{4}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\cos^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 2 \cos^{4}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\cos^{4}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

            2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

               Método #1

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

                     2. Integramos término a término:

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

                           1. que $u = 4 x$.

                              Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                              $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                                 $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                                 1. La integral del coseno es seno:

                                    $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                                 Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                              Si ahora sustituir $u$ más en:

                              $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                        El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

                     1. que $u = 2 x$.

                        Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                           1. La integral del coseno es seno:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

                  El resultado es: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

               Método #2

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

                     2. Integramos término a término:

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

                           1. que $u = 4 x$.

                              Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                              $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                                 $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                                 1. La integral del coseno es seno:

                                    $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                                 Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                              Si ahora sustituir $u$ más en:

                              $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                        El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

                     1. que $u = 2 x$.

                        Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                           1. La integral del coseno es seno:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

                  El resultado es: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x}{4} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

                  1. que $u = 2 x$.

                     Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                        1. La integral del coseno es seno:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

               El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         El resultado es: $\frac{x}{4} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16}$

      El resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - \cos^{4}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(2 x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)$

            2. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $du$:

               $\int \left(\frac{1}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du$

               1. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{8}\, du = \frac{u}{8}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{8}$

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

                     2. Integramos término a término:

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$

                           1. que $u = 2 u$.

                              Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                              $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                                 $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                                 1. La integral del coseno es seno:

                                    $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                                 Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                              Si ahora sustituir $u$ más en:

                              $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                        El resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}$

                  El resultado es: $\frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x}{4} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

                  1. que $u = 2 x$.

                     Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                        1. La integral del coseno es seno:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

               El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         El resultado es: $- \frac{x}{4} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{3}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u\, du = - \int u\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

            El resultado es: $- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \cos^{4}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\cos^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 2 \cos^{4}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\cos^{4}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

            2. Vuelva a escribir el integrando:

               $\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

            3. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

                        1. que $u = 4 x$.

                           Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                           $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                           1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                              1. La integral del coseno es seno:

                                 $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                              Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                           Si ahora sustituir $u$ más en:

                           $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                     El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

                  1. que $u = 2 x$.

                     Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                        1. La integral del coseno es seno:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

               El resultado es: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x}{4} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

                  1. que $u = 2 x$.

                     Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                        1. La integral del coseno es seno:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

               El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         El resultado es: $\frac{x}{4} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16}$

      El resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - \cos^{4}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(2 x \right)} = 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 2 \cos^{4}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)$

         2. que $u = 2 x$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $du$:

            $\int \left(\frac{1}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{8}\, du = \frac{u}{8}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{8}$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$

                        1. que $u = 2 u$.

                           Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                           $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                           1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                              1. La integral del coseno es seno:

                                 $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                              Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                           Si ahora sustituir $u$ más en:

                           $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                     El resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}$

               El resultado es: $\frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x}{4} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

               1. que $u = 2 x$.

                  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

            El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{3}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \cos^{4}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\cos^{2}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos^{4}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

         2. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

         3. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

                     1. que $u = 4 x$.

                        Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                           1. La integral del coseno es seno:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                  El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

               1. que $u = 2 x$.

                  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

            El resultado es: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x}{4} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

               1. que $u = 2 x$.

                  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

      El resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - \cos^{4}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - \cos^{4}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - \cos^{4}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$