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Resolución de integrales/ ln(x/2)/ (ln(x/2))^2

Integral de (ln(x/2))^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |     2/x\   
 |  log |-| dx
 |      \2/   
 |            
/             
0
∫01log⁡(x2)2 dx\int\limits_{0}^{1} \log{\left(\frac{x}{2} \right)}^{2}\, dx 
Integral(log(x/2)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      log⁡(x2)2=log⁡(x)2−2log⁡(2)log⁡(x)+log⁡(2)2\log{\left(\frac{x}{2} \right)}^{2} = \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}^{2}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

        Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

        ∫u2eu du\int u^{2} e^{u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=2uu{\left(u \right)} = 2 u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces du⁡(u)=2\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2eu du=2∫eu du\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        xlog⁡(x)2−2xlog⁡(x)+2xx \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + 2 x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2log⁡(2)log⁡(x)) dx=−2log⁡(2)∫log⁡(x) dx\int \left(- 2 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \log{\left(2 \right)} \int \log{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

          Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Por lo tanto, el resultado es: −2(xlog⁡(x)−x)log⁡(2)- 2 \left(x \log{\left(x \right)} - x\right) \log{\left(2 \right)}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫log⁡(2)2 dx=xlog⁡(2)2\int \log{\left(2 \right)}^{2}\, dx = x \log{\left(2 \right)}^{2}

      El resultado es: xlog⁡(x)2−2xlog⁡(x)+xlog⁡(2)2+2x−2(xlog⁡(x)−x)log⁡(2)x \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + x \log{\left(2 \right)}^{2} + 2 x - 2 \left(x \log{\left(x \right)} - x\right) \log{\left(2 \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      log⁡(x2)2=log⁡(x)2−2log⁡(2)log⁡(x)+log⁡(2)2\log{\left(\frac{x}{2} \right)}^{2} = \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}^{2}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

        Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

        ∫u2eu du\int u^{2} e^{u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=2uu{\left(u \right)} = 2 u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces du⁡(u)=2\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2eu du=2∫eu du\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        xlog⁡(x)2−2xlog⁡(x)+2xx \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + 2 x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2log⁡(2)log⁡(x)) dx=−2log⁡(2)∫log⁡(x) dx\int \left(- 2 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \log{\left(2 \right)} \int \log{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

          Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Por lo tanto, el resultado es: −2(xlog⁡(x)−x)log⁡(2)- 2 \left(x \log{\left(x \right)} - x\right) \log{\left(2 \right)}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫log⁡(2)2 dx=xlog⁡(2)2\int \log{\left(2 \right)}^{2}\, dx = x \log{\left(2 \right)}^{2}

      El resultado es: xlog⁡(x)2−2xlog⁡(x)+xlog⁡(2)2+2x−2(xlog⁡(x)−x)log⁡(2)x \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + x \log{\left(2 \right)}^{2} + 2 x - 2 \left(x \log{\left(x \right)} - x\right) \log{\left(2 \right)}

  2. Ahora simplificar:

    x((1−log⁡(x))log⁡(4)+log⁡(x)2−2log⁡(x)+log⁡(2)2+2)x \left(\left(1 - \log{\left(x \right)}\right) \log{\left(4 \right)} + \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}^{2} + 2\right)

  3. Añadimos la constante de integración:

    x((1−log⁡(x))log⁡(4)+log⁡(x)2−2log⁡(x)+log⁡(2)2+2)+constantx \left(\left(1 - \log{\left(x \right)}\right) \log{\left(4 \right)} + \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}^{2} + 2\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x((1−log⁡(x))log⁡(4)+log⁡(x)2−2log⁡(x)+log⁡(2)2+2)+constantx \left(\left(1 - \log{\left(x \right)}\right) \log{\left(4 \right)} + \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}^{2} + 2\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                    
 |                                                                                     
 |    2/x\                     2           2                                           
 | log |-| dx = C + 2*x + x*log (2) + x*log (x) - 2*x*log(x) - 2*(-x + x*log(x))*log(2)
 |     \2/                                                                             
 |                                                                                     
/
∫log⁡(x2)2 dx=C+xlog⁡(x)2−2xlog⁡(x)+xlog⁡(2)2+2x−2(xlog⁡(x)−x)log⁡(2)\int \log{\left(\frac{x}{2} \right)}^{2}\, dx = C + x \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + x \log{\left(2 \right)}^{2} + 2 x - 2 \left(x \log{\left(x \right)} - x\right) \log{\left(2 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900100
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
       2              
2 + log (2) + 2*log(2)
log⁡(2)2+2log⁡(2)+2\log{\left(2 \right)}^{2} + 2 \log{\left(2 \right)} + 2 
=
= 
       2              
2 + log (2) + 2*log(2)
log⁡(2)2+2log⁡(2)+2\log{\left(2 \right)}^{2} + 2 \log{\left(2 \right)} + 2 
2 + log(2)^2 + 2*log(2)
Respuesta numérica [src] 
3.86674737503809
3.86674737503809

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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