Integral de (3x-1)log(3x-1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 x - 1$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u \log{\left(u \right)}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u \log{\left(u \right)}\, du = \frac{\int u \log{\left(u \right)}\, du}{3}$

         1. que $u = \log{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

            $\int u e^{2 u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{u^{2} \log{\left(u \right)}}{2} - \frac{u^{2}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2} \log{\left(u \right)}}{6} - \frac{u^{2}}{12}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(3 x - 1\right)^{2} \log{\left(3 x - 1 \right)}}{6} - \frac{\left(3 x - 1\right)^{2}}{12}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(3 x - 1\right) \log{\left(3 x - 1 \right)} = 3 x \log{\left(3 x - 1 \right)} - \log{\left(3 x - 1 \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x \log{\left(3 x - 1 \right)}\, dx = 3 \int x \log{\left(3 x - 1 \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \log{\left(3 x - 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{3}{3 x - 1}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3 x^{2}}{2 \left(3 x - 1\right)}\, dx = \frac{3 \int \frac{x^{2}}{3 x - 1}\, dx}{2}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{x^{2}}{3 x - 1} = \frac{x}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9 \left(3 x - 1\right)}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{x}{3}\, dx = \frac{\int x\, dx}{3}$

                  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{6}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{9}\, dx = \frac{x}{9}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{9 \left(3 x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{3 x - 1}\, dx}{9}$

                  1. que $u = 3 x - 1$.

                     Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

                     $\int \frac{1}{3 u}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{27}$

               El resultado es: $\frac{x^{2}}{6} + \frac{x}{9} + \frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{27}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{6} + \frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{2} \log{\left(3 x - 1 \right)}}{2} - \frac{3 x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \log{\left(3 x - 1 \right)}\right)\, dx = - \int \log{\left(3 x - 1 \right)}\, dx$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = 3 x - 1$.

               Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{\log{\left(u \right)}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \log{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \log{\left(u \right)}\, du}{3}$

                  1. Usamos la integración por partes:

                     $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                     que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

                     Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

                     Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int 1\, du = u$

                     Ahora resolvemos podintegral.

                  2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 1\, du = u$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u \log{\left(u \right)}}{3} - \frac{u}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- x + \frac{\left(3 x - 1\right) \log{\left(3 x - 1 \right)}}{3} + \frac{1}{3}$

            Método #2

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(x \right)} = \log{\left(3 x - 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{3}{3 x - 1}$.

               Para buscar $v{\left(x \right)}$:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, dx = x$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{3 x}{3 x - 1}\, dx = 3 \int \frac{x}{3 x - 1}\, dx$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{x}{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \left(3 x - 1\right)}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{3}\, dx = \frac{x}{3}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{3 \left(3 x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{3 x - 1}\, dx}{3}$

                     1. que $u = 3 x - 1$.

                        Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

                        $\int \frac{1}{3 u}\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

                           1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{3}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{9}$

                  El resultado es: $\frac{x}{3} + \frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{9}$

               Por lo tanto, el resultado es: $x + \frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x - \frac{\left(3 x - 1\right) \log{\left(3 x - 1 \right)}}{3} - \frac{1}{3}$

      El resultado es: $\frac{3 x^{2} \log{\left(3 x - 1 \right)}}{2} - \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{x}{2} - \frac{\left(3 x - 1\right) \log{\left(3 x - 1 \right)}}{3} - \frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{6} - \frac{1}{3}$

   Método #3

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(3 x - 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 3 x - 1$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{3}{3 x - 1}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 x\, dx = 3 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{2}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

         El resultado es: $\frac{3 x^{2}}{2} - x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{3 \left(\frac{3 x^{2}}{2} - x\right)}{3 x - 1}\, dx = 3 \int \frac{\frac{3 x^{2}}{2} - x}{3 x - 1}\, dx$

      1. que $u = - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{3 u^{2} + 2 u}{6 u + 2}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{3 u^{2} + 2 u}{6 u + 2} = \frac{u}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{6 \left(3 u + 1\right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u}{2}\, du = \frac{\int u\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{4}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{6}\, du = \frac{u}{6}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{6 \left(3 u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{3 u + 1}\, du}{6}$

               1. que $u = 3 u + 1$.

                  Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

                  $\int \frac{1}{3 u}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\log{\left(3 u + 1 \right)}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(3 u + 1 \right)}}{18}$

            El resultado es: $\frac{u^{2}}{4} + \frac{u}{6} - \frac{\log{\left(3 u + 1 \right)}}{18}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{6} - \frac{\log{\left(1 - 3 x \right)}}{18}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(1 - 3 x \right)}}{6}$

   Método #4

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(3 x - 1\right) \log{\left(3 x - 1 \right)} = 3 x \log{\left(3 x - 1 \right)} - \log{\left(3 x - 1 \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x \log{\left(3 x - 1 \right)}\, dx = 3 \int x \log{\left(3 x - 1 \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \log{\left(3 x - 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{3}{3 x - 1}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3 x^{2}}{2 \left(3 x - 1\right)}\, dx = \frac{3 \int \frac{x^{2}}{3 x - 1}\, dx}{2}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{x^{2}}{3 x - 1} = \frac{x}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9 \left(3 x - 1\right)}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{x}{3}\, dx = \frac{\int x\, dx}{3}$

                  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{6}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{9}\, dx = \frac{x}{9}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{9 \left(3 x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{3 x - 1}\, dx}{9}$

                  1. que $u = 3 x - 1$.

                     Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

                     $\int \frac{1}{3 u}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{27}$

               El resultado es: $\frac{x^{2}}{6} + \frac{x}{9} + \frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{27}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{6} + \frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{2} \log{\left(3 x - 1 \right)}}{2} - \frac{3 x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \log{\left(3 x - 1 \right)}\right)\, dx = - \int \log{\left(3 x - 1 \right)}\, dx$

         1. que $u = 3 x - 1$.

            Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{\log{\left(u \right)}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \log{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \log{\left(u \right)}\, du}{3}$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 1\, du = u$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u \log{\left(u \right)}}{3} - \frac{u}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- x + \frac{\left(3 x - 1\right) \log{\left(3 x - 1 \right)}}{3} + \frac{1}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x - \frac{\left(3 x - 1\right) \log{\left(3 x - 1 \right)}}{3} - \frac{1}{3}$

      El resultado es: $\frac{3 x^{2} \log{\left(3 x - 1 \right)}}{2} - \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{x}{2} - \frac{\left(3 x - 1\right) \log{\left(3 x - 1 \right)}}{3} - \frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{6} - \frac{1}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(3 x - 1\right)^{2} \left(2 \log{\left(3 x - 1 \right)} - 1\right)}{12}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(3 x - 1\right)^{2} \left(2 \log{\left(3 x - 1 \right)} - 1\right)}{12}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(3 x - 1\right)^{2} \left(2 \log{\left(3 x - 1 \right)} - 1\right)}{12}+ \mathrm{constant}$