Integral de (exp(x)-1)² dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{\left(u - 1\right)^{2}}{u}\, du$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{\left(u - 1\right)^{2}}{u} = u - 2 + \frac{1}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(-2\right)\, du = - 2 u$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            El resultado es: $\frac{u^{2}}{2} - 2 u + \log{\left(u \right)}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{\left(u - 1\right)^{2}}{u} = \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u}$

         2. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{2} - 2 u + 1}{u} = u - 2 + \frac{1}{u}$

         3. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(-2\right)\, du = - 2 u$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            El resultado es: $\frac{u^{2}}{2} - 2 u + \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{e^{2 x}}{2} - 2 e^{x} + \log{\left(e^{x} \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(e^{x} - 1\right)^{2} = e^{2 x} - 2 e^{x} + 1$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = 2 x$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{2 x}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 e^{x}\right)\, dx = - 2 \int e^{x}\, dx$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 e^{x}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      El resultado es: $x + \frac{e^{2 x}}{2} - 2 e^{x}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(e^{x} - 1\right)^{2} = e^{2 x} - 2 e^{x} + 1$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = 2 x$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{2 x}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 e^{x}\right)\, dx = - 2 \int e^{x}\, dx$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 e^{x}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      El resultado es: $x + \frac{e^{2 x}}{2} - 2 e^{x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{e^{2 x}}{2} - 2 e^{x} + \log{\left(e^{x} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{e^{2 x}}{2} - 2 e^{x} + \log{\left(e^{x} \right)}+ \mathrm{constant}$