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Resolución de integrales/ sin(x)/ 1/2x^2/ 2x^2*sin/ 1/2x^2*sin(x)

Integral de 1/2x^2*sin(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi             
  /             
 |              
 |   2          
 |  x           
 |  --*sin(x) dx
 |  2           
 |              
/               
0
∫0πx22sin⁡(x) dx\int\limits_{0}^{\pi} \frac{x^{2}}{2} \sin{\left(x \right)}\, dx 
Integral((x^2/2)*sin(x), (x, 0, pi))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=x22u{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{2} y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

    Entonces du⁡(x)=x\operatorname{du}{\left(x \right)} = x.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. La integral del seno es un coseno menos:

      ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=−xu{\left(x \right)} = - x y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

    Entonces du⁡(x)=−1\operatorname{du}{\left(x \right)} = -1.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. La integral del coseno es seno:

      ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

    Ahora resolvemos podintegral.

  3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫(−sin⁡(x)) dx=−∫sin⁡(x) dx\int \left(- \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)}\, dx

    1. La integral del seno es un coseno menos:

      ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

    Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(x)\cos{\left(x \right)}

  4. Añadimos la constante de integración:

    −x2cos⁡(x)2+xsin⁡(x)+cos⁡(x)+constant- \frac{x^{2} \cos{\left(x \right)}}{2} + x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−x2cos⁡(x)2+xsin⁡(x)+cos⁡(x)+constant- \frac{x^{2} \cos{\left(x \right)}}{2} + x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                
 |                                                 
 |  2                             2                
 | x                             x *cos(x)         
 | --*sin(x) dx = C + x*sin(x) - --------- + cos(x)
 | 2                                 2             
 |                                                 
/
∫x22sin⁡(x) dx=C−x2cos⁡(x)2+xsin⁡(x)+cos⁡(x)\int \frac{x^{2}}{2} \sin{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{x^{2} \cos{\left(x \right)}}{2} + x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.000.250.500.751.001.251.501.752.002.252.502.753.0005
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
       2
     pi 
-2 + ---
      2
−2+π22-2 + \frac{\pi^{2}}{2} 
=
= 
       2
     pi 
-2 + ---
      2
−2+π22-2 + \frac{\pi^{2}}{2} 
-2 + pi^2/2
Respuesta numérica [src] 
2.93480220054468
2.93480220054468

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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