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Resolución de integrales/ (7x+5)*lnx

Integral de (7x+5)*lnx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                    
  /                    
 |                     
 |  (7*x + 5)*log(x) dx
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/                      
0
∫01(7x+5)log⁡(x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(7 x + 5\right) \log{\left(x \right)}\, dx 
Integral((7*x + 5)*log(x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ∫(7ue2u+5ueu) du\int \left(7 u e^{2 u} + 5 u e^{u}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫7ue2u du=7∫ue2u du\int 7 u e^{2 u}\, du = 7 \int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: 7ue2u2−7e2u4\frac{7 u e^{2 u}}{2} - \frac{7 e^{2 u}}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫5ueu du=5∫ueu du\int 5 u e^{u}\, du = 5 \int u e^{u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: 5ueu−5eu5 u e^{u} - 5 e^{u}

        El resultado es: 7ue2u2+5ueu−7e2u4−5eu\frac{7 u e^{2 u}}{2} + 5 u e^{u} - \frac{7 e^{2 u}}{4} - 5 e^{u}

      Si ahora sustituir uu más en:

      7x2log⁡(x)2−7x24+5xlog⁡(x)−5x\frac{7 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{7 x^{2}}{4} + 5 x \log{\left(x \right)} - 5 x

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (7x+5)log⁡(x)=7xlog⁡(x)+5log⁡(x)\left(7 x + 5\right) \log{\left(x \right)} = 7 x \log{\left(x \right)} + 5 \log{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫7xlog⁡(x) dx=7∫xlog⁡(x) dx\int 7 x \log{\left(x \right)}\, dx = 7 \int x \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 7x2log⁡(x)2−7x24\frac{7 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{7 x^{2}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5log⁡(x) dx=5∫log⁡(x) dx\int 5 \log{\left(x \right)}\, dx = 5 \int \log{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

          Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Por lo tanto, el resultado es: 5xlog⁡(x)−5x5 x \log{\left(x \right)} - 5 x

      El resultado es: 7x2log⁡(x)2−7x24+5xlog⁡(x)−5x\frac{7 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{7 x^{2}}{4} + 5 x \log{\left(x \right)} - 5 x

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=7x+5\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 7 x + 5.

      Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫7x dx=7∫x dx\int 7 x\, dx = 7 \int x\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 7x22\frac{7 x^{2}}{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫5 dx=5x\int 5\, dx = 5 x

        El resultado es: 7x22+5x\frac{7 x^{2}}{2} + 5 x

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      7x22+5xx=7x2+5\frac{\frac{7 x^{2}}{2} + 5 x}{x} = \frac{7 x}{2} + 5

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫7x2 dx=7∫x dx2\int \frac{7 x}{2}\, dx = \frac{7 \int x\, dx}{2}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 7x24\frac{7 x^{2}}{4}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫5 dx=5x\int 5\, dx = 5 x

      El resultado es: 7x24+5x\frac{7 x^{2}}{4} + 5 x

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (7x+5)log⁡(x)=7xlog⁡(x)+5log⁡(x)\left(7 x + 5\right) \log{\left(x \right)} = 7 x \log{\left(x \right)} + 5 \log{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫7xlog⁡(x) dx=7∫xlog⁡(x) dx\int 7 x \log{\left(x \right)}\, dx = 7 \int x \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 7x2log⁡(x)2−7x24\frac{7 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{7 x^{2}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5log⁡(x) dx=5∫log⁡(x) dx\int 5 \log{\left(x \right)}\, dx = 5 \int \log{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

          Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Por lo tanto, el resultado es: 5xlog⁡(x)−5x5 x \log{\left(x \right)} - 5 x

      El resultado es: 7x2log⁡(x)2−7x24+5xlog⁡(x)−5x\frac{7 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{7 x^{2}}{4} + 5 x \log{\left(x \right)} - 5 x

  2. Ahora simplificar:

    x(14xlog⁡(x)−7x+20log⁡(x)−20)4\frac{x \left(14 x \log{\left(x \right)} - 7 x + 20 \log{\left(x \right)} - 20\right)}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x(14xlog⁡(x)−7x+20log⁡(x)−20)4+constant\frac{x \left(14 x \log{\left(x \right)} - 7 x + 20 \log{\left(x \right)} - 20\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x(14xlog⁡(x)−7x+20log⁡(x)−20)4+constant\frac{x \left(14 x \log{\left(x \right)} - 7 x + 20 \log{\left(x \right)} - 20\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                   2                   2       
 |                                 7*x                 7*x *log(x)
 | (7*x + 5)*log(x) dx = C - 5*x - ---- + 5*x*log(x) + -----------
 |                                  4                       2     
/
∫(7x+5)log⁡(x) dx=C+7x2log⁡(x)2−7x24+5xlog⁡(x)−5x\int \left(7 x + 5\right) \log{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{7 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{7 x^{2}}{4} + 5 x \log{\left(x \right)} - 5 x
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-5050
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-27/4
−274- \frac{27}{4} 
=
= 
-27/4
−274- \frac{27}{4} 
-27/4
Respuesta numérica [src] 
-6.75
-6.75

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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