Integral de (2x^(3)-x^(1/5)+5)/x^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - \sqrt[5]{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{10 u^{15} - 5 u - 25}{u^{6}}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{10 u^{15} - 5 u - 25}{u^{6}} = 10 u^{9} - \frac{5}{u^{5}} - \frac{25}{u^{6}}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 10 u^{9}\, du = 10 \int u^{9}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}$

            Por lo tanto, el resultado es: $u^{10}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{5}{u^{5}}\right)\, du = - 5 \int \frac{1}{u^{5}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5}{4 u^{4}}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{25}{u^{6}}\right)\, du = - 25 \int \frac{1}{u^{6}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5}{u^{5}}$

         El resultado es: $u^{10} + \frac{5}{4 u^{4}} + \frac{5}{u^{5}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $x^{2} - \frac{5}{x} + \frac{5}{4 x^{\frac{4}{5}}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(- \sqrt[5]{x} + 2 x^{3}\right) + 5}{x^{2}} = 2 x + \frac{5}{x^{2}} - \frac{1}{x^{\frac{9}{5}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5}{x^{2}}\, dx = 5 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5}{x}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{x^{\frac{9}{5}}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{\frac{9}{5}}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{\frac{9}{5}}}\, dx = - \frac{5}{4 x^{\frac{4}{5}}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5}{4 x^{\frac{4}{5}}}$

      El resultado es: $x^{2} - \frac{5}{x} + \frac{5}{4 x^{\frac{4}{5}}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x^{2} - \frac{5}{x} + \frac{5}{4 x^{\frac{4}{5}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x^{2} - \frac{5}{x} + \frac{5}{4 x^{\frac{4}{5}}}+ \mathrm{constant}$