Integral de 5\x(lnx+2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 10}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 10}{u}\, du = - \int \frac{5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 10}{u}\, du$

         1. que $u = \frac{1}{u}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{5 \log{\left(u \right)} + 10}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{5 \log{\left(u \right)} + 10}{u}\, du = - \int \frac{5 \log{\left(u \right)} + 10}{u}\, du$

               1. que $u = \log{\left(u \right)}$.

                  Luego que $du = \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

                  $\int \left(5 u + 10\right)\, du$

                  1. Integramos término a término:

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int 5 u\, du = 5 \int u\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 u^{2}}{2}$

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int 10\, du = 10 u$

                     El resultado es: $\frac{5 u^{2}}{2} + 10 u$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{5 \log{\left(u \right)}^{2}}{2} + 10 \log{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 \log{\left(u \right)}^{2}}{2} - 10 \log{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{5 \log{\left(u \right)}^{2}}{2} + 10 \log{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 \log{\left(u \right)}^{2}}{2} - 10 \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{5 \log{\left(x \right)}^{2}}{2} + 10 \log{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{5}{x} \left(\log{\left(x \right)} + 2\right) = \frac{5 \log{\left(x \right)} + 10}{x}$

   2. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 10}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 10}{u}\, du = - \int \frac{5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 10}{u}\, du$

         1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

            $\int \left(- 5 u - 10\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 5 u\right)\, du = - 5 \int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 u^{2}}{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \left(-10\right)\, du = - 10 u$

               El resultado es: $- \frac{5 u^{2}}{2} - 10 u$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2} - 10 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2} + 10 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{5 \log{\left(x \right)}^{2}}{2} + 10 \log{\left(x \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{5}{x} \left(\log{\left(x \right)} + 2\right) = \frac{5 \log{\left(x \right)}}{x} + \frac{10}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5 \log{\left(x \right)}}{x}\, dx = 5 \int \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{x}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du$

               1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u\, du = - \int u\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 \log{\left(x \right)}^{2}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{10}{x}\, dx = 10 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $10 \log{\left(x \right)}$

      El resultado es: $\frac{5 \log{\left(x \right)}^{2}}{2} + 10 \log{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{5 \left(\log{\left(x \right)} + 4\right) \log{\left(x \right)}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{5 \left(\log{\left(x \right)} + 4\right) \log{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{5 \left(\log{\left(x \right)} + 4\right) \log{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$