Sr Examen
Integral de (xcos(t))/(x^2+y^2) dx
Solución
Ha introducido
[src]
2*pi / | | x*cos(t) | -------- dx | 2 2 | x + y | / 0
$$\int\limits_{0}^{2 \pi} \frac{x \cos{\left(t \right)}}{x^{2} + y^{2}}\, dx$$
Integral((x*cos(t))/(x^2 + y^2), (x, 0, 2*pi))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | x*cos(t) | -------- dx | 2 2 | x + y | /
Reescribimos la función subintegral
/0 \
|--|
| 2|
x*cos(t) cos(t) 2*x \y /
-------- = ------*------------- + ------------
2 2 2 2 2 2
x + y x + 0*x + y /-1 \
|---*x| + 1
\ y / o
/ | | x*cos(t) | -------- dx | 2 2 = | x + y | /
/ / \
| | |
| | 2*x |
| | ------------- dx|*cos(t)
| | 2 2 |
| | x + 0*x + y |
| | |
\/ /
----------------------------
2 En integral
/ / \
| | |
| | 2*x |
| | ------------- dx|*cos(t)
| | 2 2 |
| | x + 0*x + y |
| | |
\/ /
----------------------------
2 hacemos el cambio
2 u = x
entonces
integral =
/ / \
| | |
| | 1 |
| | ------ du|*cos(t)
| | 2 |
| | u + y |
| | | / 2\
\/ / cos(t)*log\u + y /
--------------------- = ------------------
2 2 hacemos cambio inverso
/ / \
| | |
| | 2*x |
| | ------------- dx|*cos(t)
| | 2 2 |
| | x + 0*x + y |
| | | / 2 2\
\/ / cos(t)*log\x + y /
---------------------------- = -------------------
2 2 En integral
0
hacemos el cambio
-x
v = ---
y entonces
integral =
True
hacemos cambio inverso
True
La solución:
/ 2 2\
cos(t)*log\x + y /
C + -------------------
2
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ | / 2 2\ | x*cos(t) cos(t)*log\x + y / | -------- dx = C + ------------------- | 2 2 2 | x + y | /
$$\int \frac{x \cos{\left(t \right)}}{x^{2} + y^{2}}\, dx = C + \frac{\log{\left(x^{2} + y^{2} \right)} \cos{\left(t \right)}}{2}$$
Respuesta
[src]
/ 2 2\ / 2\
cos(t)*log\y + 4*pi / cos(t)*log\y /
---------------------- - --------------
2 2
$$- \frac{\log{\left(y^{2} \right)} \cos{\left(t \right)}}{2} + \frac{\log{\left(y^{2} + 4 \pi^{2} \right)} \cos{\left(t \right)}}{2}$$
=
=
/ 2 2\ / 2\
cos(t)*log\y + 4*pi / cos(t)*log\y /
---------------------- - --------------
2 2
$$- \frac{\log{\left(y^{2} \right)} \cos{\left(t \right)}}{2} + \frac{\log{\left(y^{2} + 4 \pi^{2} \right)} \cos{\left(t \right)}}{2}$$
cos(t)*log(y^2 + 4*pi^2)/2 - cos(t)*log(y^2)/2
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.