Integral de (5-x^2)*sqrt(5-x^2)/ dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sqrt{5 - x^{2}} \left(5 - x^{2}\right) = - x^{2} \sqrt{5 - x^{2}} + 5 \sqrt{5 - x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{2} \sqrt{5 - x^{2}}\right)\, dx = - \int x^{2} \sqrt{5 - x^{2}}\, dx$

         TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sqrt(5)*sin(_theta), rewritten=25/8 - 25*cos(4*_theta)/8, substep=AddRule(substeps=[ConstantRule(constant=25/8, context=25/8, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=-25/8, other=cos(4*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=4*_theta, constant=1/4, substep=ConstantTimesRule(constant=1/4, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(4*_theta), symbol=_theta), context=-25*cos(4*_theta)/8, symbol=_theta)], context=25/8 - 25*cos(4*_theta)/8, symbol=_theta), restriction=(x < sqrt(5)) & (x > -sqrt(5)), context=x**2*sqrt(5 - x**2), symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $- \begin{cases} - \frac{x \left(5 - 2 x^{2}\right) \sqrt{5 - x^{2}}}{8} + \frac{25 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{8} & \text{for}\: x > - \sqrt{5} \wedge x < \sqrt{5} \end{cases}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5 \sqrt{5 - x^{2}}\, dx = 5 \int \sqrt{5 - x^{2}}\, dx$

         TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sqrt(5)*sin(_theta), rewritten=5*cos(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=5, other=cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=5*cos(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x < sqrt(5)) & (x > -sqrt(5)), context=sqrt(5 - x**2), symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $5 \left(\begin{cases} \frac{x \sqrt{5 - x^{2}}}{2} + \frac{5 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{2} & \text{for}\: x > - \sqrt{5} \wedge x < \sqrt{5} \end{cases}\right)$

      El resultado es: $5 \left(\begin{cases} \frac{x \sqrt{5 - x^{2}}}{2} + \frac{5 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{2} & \text{for}\: x > - \sqrt{5} \wedge x < \sqrt{5} \end{cases}\right) - \begin{cases} - \frac{x \left(5 - 2 x^{2}\right) \sqrt{5 - x^{2}}}{8} + \frac{25 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{8} & \text{for}\: x > - \sqrt{5} \wedge x < \sqrt{5} \end{cases}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sqrt{5 - x^{2}} \left(5 - x^{2}\right) = - x^{2} \sqrt{5 - x^{2}} + 5 \sqrt{5 - x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{2} \sqrt{5 - x^{2}}\right)\, dx = - \int x^{2} \sqrt{5 - x^{2}}\, dx$

         TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sqrt(5)*sin(_theta), rewritten=25/8 - 25*cos(4*_theta)/8, substep=AddRule(substeps=[ConstantRule(constant=25/8, context=25/8, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=-25/8, other=cos(4*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=4*_theta, constant=1/4, substep=ConstantTimesRule(constant=1/4, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(4*_theta), symbol=_theta), context=-25*cos(4*_theta)/8, symbol=_theta)], context=25/8 - 25*cos(4*_theta)/8, symbol=_theta), restriction=(x < sqrt(5)) & (x > -sqrt(5)), context=x**2*sqrt(5 - x**2), symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $- \begin{cases} - \frac{x \left(5 - 2 x^{2}\right) \sqrt{5 - x^{2}}}{8} + \frac{25 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{8} & \text{for}\: x > - \sqrt{5} \wedge x < \sqrt{5} \end{cases}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5 \sqrt{5 - x^{2}}\, dx = 5 \int \sqrt{5 - x^{2}}\, dx$

         TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sqrt(5)*sin(_theta), rewritten=5*cos(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=5, other=cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=5*cos(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x < sqrt(5)) & (x > -sqrt(5)), context=sqrt(5 - x**2), symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $5 \left(\begin{cases} \frac{x \sqrt{5 - x^{2}}}{2} + \frac{5 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{2} & \text{for}\: x > - \sqrt{5} \wedge x < \sqrt{5} \end{cases}\right)$

      El resultado es: $5 \left(\begin{cases} \frac{x \sqrt{5 - x^{2}}}{2} + \frac{5 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{2} & \text{for}\: x > - \sqrt{5} \wedge x < \sqrt{5} \end{cases}\right) - \begin{cases} - \frac{x \left(5 - 2 x^{2}\right) \sqrt{5 - x^{2}}}{8} + \frac{25 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{8} & \text{for}\: x > - \sqrt{5} \wedge x < \sqrt{5} \end{cases}$

2. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} \frac{- 2 x^{3} \sqrt{5 - x^{2}} + 25 x \sqrt{5 - x^{2}} + 75 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{8} & \text{for}\: x > - \sqrt{5} \wedge x < \sqrt{5} \end{cases}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} \frac{- 2 x^{3} \sqrt{5 - x^{2}} + 25 x \sqrt{5 - x^{2}} + 75 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{8} & \text{for}\: x > - \sqrt{5} \wedge x < \sqrt{5} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} \frac{- 2 x^{3} \sqrt{5 - x^{2}} + 25 x \sqrt{5 - x^{2}} + 75 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{8} & \text{for}\: x > - \sqrt{5} \wedge x < \sqrt{5} \end{cases}+ \mathrm{constant}$