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Resolución de integrales/ sin(2x)/ -x*sin(2x)/2

Integral de -x*sin(2x)/2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |  -x*sin(2*x)   
 |  ----------- dx
 |       2        
 |                
/                 
0
∫01−xsin⁡(2x)2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{- x \sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx 
Integral(((-x)*sin(2*x))/2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫−xsin⁡(2x)2 dx=∫(−xsin⁡(2x)) dx2\int \frac{- x \sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \left(- x \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx}{2}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−xsin⁡(2x)) dx=−∫xsin⁡(2x) dx\int \left(- x \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - \int x \sin{\left(2 x \right)}\, dx

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(2x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del seno es un coseno menos:

                  ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

            Método #2

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫2sin⁡(x)cos⁡(x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

              1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

                Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

                ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                  Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡2(x)- \cos^{2}{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Método #2

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2xsin⁡(x)cos⁡(x) dx=2∫xsin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 2 x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}.

            Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

            Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(2x)2 dx=∫sin⁡(2x) dx2\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

              1. que u=2xu = 2 x.

                Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                    ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2x)4- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(2x)4) dx=−∫cos⁡(2x) dx4\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)8- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}

          Por lo tanto, el resultado es: −xcos⁡(2x)2+sin⁡(2x)4- \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: xcos⁡(2x)2−sin⁡(2x)4\frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

    Por lo tanto, el resultado es: xcos⁡(2x)4−sin⁡(2x)8\frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}

  2. Añadimos la constante de integración:

    xcos⁡(2x)4−sin⁡(2x)8+constant\frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

xcos⁡(2x)4−sin⁡(2x)8+constant\frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                          
 |                                           
 | -x*sin(2*x)          sin(2*x)   x*cos(2*x)
 | ----------- dx = C - -------- + ----------
 |      2                  8           4     
 |                                           
/
∫−xsin⁡(2x)2 dx=C+xcos⁡(2x)4−sin⁡(2x)8\int \frac{- x \sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = C + \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.5-0.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  sin(2)   cos(2)
- ------ + ------
    8        4
−sin⁡(2)8+cos⁡(2)4- \frac{\sin{\left(2 \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(2 \right)}}{4} 
=
= 
  sin(2)   cos(2)
- ------ + ------
    8        4
−sin⁡(2)8+cos⁡(2)4- \frac{\sin{\left(2 \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(2 \right)}}{4} 
-sin(2)/8 + cos(2)/4
Respuesta numérica [src] 
-0.217698887489996
-0.217698887489996

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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