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Resolución de integrales/ 3-x^2/ x^3-x/ x^2-1/ x^4+x/ (4x^4+x^3-x^2-1)/(4x^3-x)

Integral de (4x^4+x^3-x^2-1)/(4x^3-x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                      
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 |                       
 |     4    3    2       
 |  4*x  + x  - x  - 1   
 |  ------------------ dx
 |          3            
 |       4*x  - x        
 |                       
/                        
0
∫01(−x2+(4x4+x3))−14x3−x dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\left(- x^{2} + \left(4 x^{4} + x^{3}\right)\right) - 1}{4 x^{3} - x}\, dx 
Integral((4*x^4 + x^3 - x^2 - 1)/(4*x^3 - x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (−x2+(4x4+x3))−14x3−x=x+14−98(2x+1)−78(2x−1)+1x\frac{\left(- x^{2} + \left(4 x^{4} + x^{3}\right)\right) - 1}{4 x^{3} - x} = x + \frac{1}{4} - \frac{9}{8 \left(2 x + 1\right)} - \frac{7}{8 \left(2 x - 1\right)} + \frac{1}{x}

    2. Integramos término a término:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−98(2x+1)) dx=−9∫12x+1 dx8\int \left(- \frac{9}{8 \left(2 x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{9 \int \frac{1}{2 x + 1}\, dx}{8}

        1. que u=2x+1u = 2 x + 1.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(2x+1)2\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −9log⁡(2x+1)16- \frac{9 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−78(2x−1)) dx=−7∫12x−1 dx8\int \left(- \frac{7}{8 \left(2 x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{7 \int \frac{1}{2 x - 1}\, dx}{8}

        1. que u=2x−1u = 2 x - 1.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(2x−1)2\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −7log⁡(2x−1)16- \frac{7 \log{\left(2 x - 1 \right)}}{16}

      1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

      El resultado es: x22+x4+log⁡(x)−7log⁡(2x−1)16−9log⁡(2x+1)16\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{4} + \log{\left(x \right)} - \frac{7 \log{\left(2 x - 1 \right)}}{16} - \frac{9 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{16}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (−x2+(4x4+x3))−14x3−x=4x44x3−x+x34x3−x−x24x3−x−14x3−x\frac{\left(- x^{2} + \left(4 x^{4} + x^{3}\right)\right) - 1}{4 x^{3} - x} = \frac{4 x^{4}}{4 x^{3} - x} + \frac{x^{3}}{4 x^{3} - x} - \frac{x^{2}}{4 x^{3} - x} - \frac{1}{4 x^{3} - x}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4x44x3−x dx=4∫x44x3−x dx\int \frac{4 x^{4}}{4 x^{3} - x}\, dx = 4 \int \frac{x^{4}}{4 x^{3} - x}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x44x3−x=x4+116(2x+1)+116(2x−1)\frac{x^{4}}{4 x^{3} - x} = \frac{x}{4} + \frac{1}{16 \left(2 x + 1\right)} + \frac{1}{16 \left(2 x - 1\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫x4 dx=∫x dx4\int \frac{x}{4}\, dx = \frac{\int x\, dx}{4}

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: x28\frac{x^{2}}{8}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫116(2x+1) dx=∫12x+1 dx16\int \frac{1}{16 \left(2 x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{2 x + 1}\, dx}{16}

            1. que u=2x+1u = 2 x + 1.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(2x+1)2\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(2x+1)32\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{32}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫116(2x−1) dx=∫12x−1 dx16\int \frac{1}{16 \left(2 x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{2 x - 1}\, dx}{16}

            1. que u=2x−1u = 2 x - 1.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(2x−1)2\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(2x−1)32\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{32}

          El resultado es: x28+log⁡(2x−1)32+log⁡(2x+1)32\frac{x^{2}}{8} + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{32} + \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{32}

        Por lo tanto, el resultado es: x22+log⁡(2x−1)8+log⁡(2x+1)8\frac{x^{2}}{2} + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{8} + \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{8}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x34x3−x=14−18(2x+1)+18(2x−1)\frac{x^{3}}{4 x^{3} - x} = \frac{1}{4} - \frac{1}{8 \left(2 x + 1\right)} + \frac{1}{8 \left(2 x - 1\right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−18(2x+1)) dx=−∫12x+1 dx8\int \left(- \frac{1}{8 \left(2 x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{2 x + 1}\, dx}{8}

          1. que u=2x+1u = 2 x + 1.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(2x+1)2\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(2x+1)16- \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{16}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫18(2x−1) dx=∫12x−1 dx8\int \frac{1}{8 \left(2 x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{2 x - 1}\, dx}{8}

          1. que u=2x−1u = 2 x - 1.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(2x−1)2\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(2x−1)16\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{16}

        El resultado es: x4+log⁡(2x−1)16−log⁡(2x+1)16\frac{x}{4} + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{16} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x24x3−x) dx=−∫x24x3−x dx\int \left(- \frac{x^{2}}{4 x^{3} - x}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{4 x^{3} - x}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x24x3−x=14(2x+1)+14(2x−1)\frac{x^{2}}{4 x^{3} - x} = \frac{1}{4 \left(2 x + 1\right)} + \frac{1}{4 \left(2 x - 1\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫14(2x+1) dx=∫12x+1 dx4\int \frac{1}{4 \left(2 x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{2 x + 1}\, dx}{4}

            1. que u=2x+1u = 2 x + 1.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(2x+1)2\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(2x+1)8\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{8}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫14(2x−1) dx=∫12x−1 dx4\int \frac{1}{4 \left(2 x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{2 x - 1}\, dx}{4}

            1. que u=2x−1u = 2 x - 1.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(2x−1)2\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(2x−1)8\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{8}

          El resultado es: log⁡(2x−1)8+log⁡(2x+1)8\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{8} + \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(2x−1)8−log⁡(2x+1)8- \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{8} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{8}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−14x3−x) dx=−∫14x3−x dx\int \left(- \frac{1}{4 x^{3} - x}\right)\, dx = - \int \frac{1}{4 x^{3} - x}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          14x3−x=12x+1+12x−1−1x\frac{1}{4 x^{3} - x} = \frac{1}{2 x + 1} + \frac{1}{2 x - 1} - \frac{1}{x}

        2. Integramos término a término:

          1. que u=2x+1u = 2 x + 1.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(2x+1)2\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}

          1. que u=2x−1u = 2 x - 1.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(2x−1)2\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−1x) dx=−∫1x dx\int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx

            1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x)- \log{\left(x \right)}

          El resultado es: −log⁡(x)+log⁡(2x−1)2+log⁡(2x+1)2- \log{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x)−log⁡(2x−1)2−log⁡(2x+1)2\log{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}

      El resultado es: x22+x4+log⁡(x)−7log⁡(2x−1)16−9log⁡(2x+1)16\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{4} + \log{\left(x \right)} - \frac{7 \log{\left(2 x - 1 \right)}}{16} - \frac{9 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{16}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x22+x4+log⁡(x)−7log⁡(2x−1)16−9log⁡(2x+1)16+constant\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{4} + \log{\left(x \right)} - \frac{7 \log{\left(2 x - 1 \right)}}{16} - \frac{9 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{16}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x22+x4+log⁡(x)−7log⁡(2x−1)16−9log⁡(2x+1)16+constant\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{4} + \log{\left(x \right)} - \frac{7 \log{\left(2 x - 1 \right)}}{16} - \frac{9 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{16}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                              
 |                                                                               
 |    4    3    2               2                                                
 | 4*x  + x  - x  - 1          x    9*log(1 + 2*x)   7*log(-1 + 2*x)   x         
 | ------------------ dx = C + -- - -------------- - --------------- + - + log(x)
 |         3                   2          16                16         4         
 |      4*x  - x                                                                 
 |                                                                               
/
∫(−x2+(4x4+x3))−14x3−x dx=C+x22+x4+log⁡(x)−7log⁡(2x−1)16−9log⁡(2x+1)16\int \frac{\left(- x^{2} + \left(4 x^{4} + x^{3}\right)\right) - 1}{4 x^{3} - x}\, dx = C + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{4} + \log{\left(x \right)} - \frac{7 \log{\left(2 x - 1 \right)}}{16} - \frac{9 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{16}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-2000020000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
nan
NaN\text{NaN} 
=
= 
nan
NaN\text{NaN} 
nan

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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