Integral de (x^3+3x-2)÷(x+3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x^{3} + 3 x\right) - 2}{x + 3} = x^{2} - 3 x + 12 - \frac{38}{x + 3}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 x\right)\, dx = - 3 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 12\, dx = 12 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{38}{x + 3}\right)\, dx = - 38 \int \frac{1}{x + 3}\, dx$

         1. que $u = x + 3$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x + 3 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 38 \log{\left(x + 3 \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 12 x - 38 \log{\left(x + 3 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x^{3} + 3 x\right) - 2}{x + 3} = \frac{x^{3}}{x + 3} + \frac{3 x}{x + 3} - \frac{2}{x + 3}$

   2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{3}}{x + 3} = x^{2} - 3 x + 9 - \frac{27}{x + 3}$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 3 x\right)\, dx = - 3 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{2}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 9\, dx = 9 x$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{27}{x + 3}\right)\, dx = - 27 \int \frac{1}{x + 3}\, dx$

            1. que $u = x + 3$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x + 3 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 27 \log{\left(x + 3 \right)}$

         El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 9 x - 27 \log{\left(x + 3 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3 x}{x + 3}\, dx = 3 \int \frac{x}{x + 3}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x}{x + 3} = 1 - \frac{3}{x + 3}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{3}{x + 3}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{x + 3}\, dx$

               1. que $u = x + 3$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x + 3 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \log{\left(x + 3 \right)}$

            El resultado es: $x - 3 \log{\left(x + 3 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 x - 9 \log{\left(x + 3 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{2}{x + 3}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x + 3}\, dx$

         1. que $u = x + 3$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x + 3 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \log{\left(x + 3 \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 12 x - 36 \log{\left(x + 3 \right)} - 2 \log{\left(x + 3 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 12 x - 38 \log{\left(x + 3 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 12 x - 38 \log{\left(x + 3 \right)}+ \mathrm{constant}$