Sr Examen

Integral de arctan(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
 oo           
  /           
 |            
 |  atan(x) dx
 |            
/             
0             
0atan(x)dx\int\limits_{0}^{\infty} \operatorname{atan}{\left(x \right)}\, dx
Integral(atan(x), (x, 0, oo))
Solución detallada
  1. Usamos la integración por partes:

    udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=atan(x)u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(x \right)} y que dv(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

    Entonces du(x)=1x2+1\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} + 1}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      1dx=x\int 1\, dx = x

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    xx2+1dx=2xx2+1dx2\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}

    1. que u=x2+1u = x^{2} + 1.

      Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

      12udu\int \frac{1}{2 u}\, du

      1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

      Si ahora sustituir uu más en:

      log(x2+1)\log{\left(x^{2} + 1 \right)}

    Por lo tanto, el resultado es: log(x2+1)2\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    xatan(x)log(x2+1)2+constantx \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

xatan(x)log(x2+1)2+constantx \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                    /     2\            
 |                  log\1 + x /            
 | atan(x) dx = C - ----------- + x*atan(x)
 |                       2                 
/                                          
atan(x)dx=C+xatan(x)log(x2+1)2\int \operatorname{atan}{\left(x \right)}\, dx = C + x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9002
Respuesta [src]
oo
\infty
=
=
oo
\infty
oo

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.