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Resolución de integrales/ x^3+x/ sin(pix)/ (x^3+x)sin(pix)

Integral de (x^3+x)sin(pix) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                      
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 |                       
 |  / 3    \             
 |  \x  + x/*sin(pi*x) dx
 |                       
/                        
-1
∫−11(x3+x)sin⁡(πx) dx\int\limits_{-1}^{1} \left(x^{3} + x\right) \sin{\left(\pi x \right)}\, dx 
Integral((x^3 + x)*sin(pi*x), (x, -1, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x3+x)sin⁡(πx)=x3sin⁡(πx)+xsin⁡(πx)\left(x^{3} + x\right) \sin{\left(\pi x \right)} = x^{3} \sin{\left(\pi x \right)} + x \sin{\left(\pi x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=x3u{\left(x \right)} = x^{3} y que dv⁡(x)=sin⁡(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=3x2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=πxu = \pi x.

          Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

          ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=−3x2πu{\left(x \right)} = - \frac{3 x^{2}}{\pi} y que dv⁡(x)=cos⁡(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=−6xπ\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{6 x}{\pi}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=πxu = \pi x.

          Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

          ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

        Ahora resolvemos podintegral.

      3. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=−6xπ2u{\left(x \right)} = - \frac{6 x}{\pi^{2}} y que dv⁡(x)=sin⁡(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=−6π2\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{6}{\pi^{2}}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=πxu = \pi x.

          Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

          ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

        Ahora resolvemos podintegral.

      4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6cos⁡(πx)π3 dx=6∫cos⁡(πx) dxπ3\int \frac{6 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}\, dx = \frac{6 \int \cos{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi^{3}}

        1. que u=πxu = \pi x.

          Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

          ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

        Por lo tanto, el resultado es: 6sin⁡(πx)π4\frac{6 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}}

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=πxu = \pi x.

          Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

          ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(πx)π) dx=−∫cos⁡(πx) dxπ\int \left(- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi}

        1. que u=πxu = \pi x.

          Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

          ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(πx)π2- \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}

      El resultado es: −x3cos⁡(πx)π+3x2sin⁡(πx)π2−xcos⁡(πx)π+6xcos⁡(πx)π3−6sin⁡(πx)π4+sin⁡(πx)π2- \frac{x^{3} \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{3 x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{6 x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}} - \frac{6 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}} + \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=x(x2+1)u{\left(x \right)} = x \left(x^{2} + 1\right) y que dv⁡(x)=sin⁡(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=3x2+1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2} + 1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=πxu = \pi x.

        Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

        ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=−3x2+1πu{\left(x \right)} = - \frac{3 x^{2} + 1}{\pi} y que dv⁡(x)=cos⁡(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=−6xπ\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{6 x}{\pi}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=πxu = \pi x.

        Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

        ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=−6xπ2u{\left(x \right)} = - \frac{6 x}{\pi^{2}} y que dv⁡(x)=sin⁡(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=−6π2\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{6}{\pi^{2}}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=πxu = \pi x.

        Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

        ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

      Ahora resolvemos podintegral.

    4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫6cos⁡(πx)π3 dx=6∫cos⁡(πx) dxπ3\int \frac{6 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}\, dx = \frac{6 \int \cos{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi^{3}}

      1. que u=πxu = \pi x.

        Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

        ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

      Por lo tanto, el resultado es: 6sin⁡(πx)π4\frac{6 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x3+x)sin⁡(πx)=x3sin⁡(πx)+xsin⁡(πx)\left(x^{3} + x\right) \sin{\left(\pi x \right)} = x^{3} \sin{\left(\pi x \right)} + x \sin{\left(\pi x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=x3u{\left(x \right)} = x^{3} y que dv⁡(x)=sin⁡(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=3x2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=πxu = \pi x.

          Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

          ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=−3x2πu{\left(x \right)} = - \frac{3 x^{2}}{\pi} y que dv⁡(x)=cos⁡(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=−6xπ\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{6 x}{\pi}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=πxu = \pi x.

          Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

          ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

        Ahora resolvemos podintegral.

      3. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=−6xπ2u{\left(x \right)} = - \frac{6 x}{\pi^{2}} y que dv⁡(x)=sin⁡(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=−6π2\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{6}{\pi^{2}}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=πxu = \pi x.

          Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

          ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

        Ahora resolvemos podintegral.

      4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6cos⁡(πx)π3 dx=6∫cos⁡(πx) dxπ3\int \frac{6 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}\, dx = \frac{6 \int \cos{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi^{3}}

        1. que u=πxu = \pi x.

          Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

          ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

        Por lo tanto, el resultado es: 6sin⁡(πx)π4\frac{6 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}}

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=πxu = \pi x.

          Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

          ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(πx)π) dx=−∫cos⁡(πx) dxπ\int \left(- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi}

        1. que u=πxu = \pi x.

          Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

          ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(πx)π2- \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}

      El resultado es: −x3cos⁡(πx)π+3x2sin⁡(πx)π2−xcos⁡(πx)π+6xcos⁡(πx)π3−6sin⁡(πx)π4+sin⁡(πx)π2- \frac{x^{3} \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{3 x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{6 x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}} - \frac{6 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}} + \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}

  2. Ahora simplificar:

    −π3x(x2+1)cos⁡(πx)+6πxcos⁡(πx)+π2(3x2+1)sin⁡(πx)−6sin⁡(πx)π4\frac{- \pi^{3} x \left(x^{2} + 1\right) \cos{\left(\pi x \right)} + 6 \pi x \cos{\left(\pi x \right)} + \pi^{2} \left(3 x^{2} + 1\right) \sin{\left(\pi x \right)} - 6 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −π3x(x2+1)cos⁡(πx)+6πxcos⁡(πx)+π2(3x2+1)sin⁡(πx)−6sin⁡(πx)π4+constant\frac{- \pi^{3} x \left(x^{2} + 1\right) \cos{\left(\pi x \right)} + 6 \pi x \cos{\left(\pi x \right)} + \pi^{2} \left(3 x^{2} + 1\right) \sin{\left(\pi x \right)} - 6 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−π3x(x2+1)cos⁡(πx)+6πxcos⁡(πx)+π2(3x2+1)sin⁡(πx)−6sin⁡(πx)π4+constant\frac{- \pi^{3} x \left(x^{2} + 1\right) \cos{\left(\pi x \right)} + 6 \pi x \cos{\left(\pi x \right)} + \pi^{2} \left(3 x^{2} + 1\right) \sin{\left(\pi x \right)} - 6 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                                 
 |                                                                      3                2                          
 | / 3    \                    sin(pi*x)   6*sin(pi*x)   x*cos(pi*x)   x *cos(pi*x)   3*x *sin(pi*x)   6*x*cos(pi*x)
 | \x  + x/*sin(pi*x) dx = C + --------- - ----------- - ----------- - ------------ + -------------- + -------------
 |                                  2            4            pi            pi               2                3     
/                                 pi           pi                                          pi               pi
∫(x3+x)sin⁡(πx) dx=C−x3cos⁡(πx)π+3x2sin⁡(πx)π2−xcos⁡(πx)π+6xcos⁡(πx)π3−6sin⁡(πx)π4+sin⁡(πx)π2\int \left(x^{3} + x\right) \sin{\left(\pi x \right)}\, dx = C - \frac{x^{3} \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{3 x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{6 x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}} - \frac{6 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{4}} + \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}
Simplificar
Gráfica
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.21.00.00.20.40.60.81-1
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
   12   4 
- --- + --
    3   pi
  pi
−12π3+4π- \frac{12}{\pi^{3}} + \frac{4}{\pi} 
=
= 
   12   4 
- --- + --
    3   pi
  pi
−12π3+4π- \frac{12}{\pi^{3}} + \frac{4}{\pi} 
-12/pi^3 + 4/pi
Respuesta numérica [src] 
0.886221131536769
0.886221131536769

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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