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Resolución de integrales/ (3x/2)/ x^2cos(3x/2)

Integral de x^2cos(3x/2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |   2    /3*x\   
 |  x *cos|---| dx
 |        \ 2 /   
 |                
/                 
0
∫01x2cos⁡(3x2) dx\int\limits_{0}^{1} x^{2} \cos{\left(\frac{3 x}{2} \right)}\, dx 
Integral(x^2*cos((3*x)/2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=cos⁡(3x2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{3 x}{2} \right)}.

    Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. que u=3x2u = \frac{3 x}{2}.

      Luego que du=3dx2du = \frac{3 dx}{2} y ponemos 2du3\frac{2 du}{3}:

      ∫2cos⁡(u)3 du\int \frac{2 \cos{\left(u \right)}}{3}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{2 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)3\frac{2 \sin{\left(u \right)}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      2sin⁡(3x2)3\frac{2 \sin{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}{3}

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=4x3u{\left(x \right)} = \frac{4 x}{3} y que dv⁡(x)=sin⁡(3x2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{3 x}{2} \right)}.

    Entonces du⁡(x)=43\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{4}{3}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. que u=3x2u = \frac{3 x}{2}.

      Luego que du=3dx2du = \frac{3 dx}{2} y ponemos 2du3\frac{2 du}{3}:

      ∫2sin⁡(u)3 du\int \frac{2 \sin{\left(u \right)}}{3}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{2 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)3- \frac{2 \cos{\left(u \right)}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −2cos⁡(3x2)3- \frac{2 \cos{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}{3}

    Ahora resolvemos podintegral.

  3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫(−8cos⁡(3x2)9) dx=−8∫cos⁡(3x2) dx9\int \left(- \frac{8 \cos{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}{9}\right)\, dx = - \frac{8 \int \cos{\left(\frac{3 x}{2} \right)}\, dx}{9}

    1. que u=3x2u = \frac{3 x}{2}.

      Luego que du=3dx2du = \frac{3 dx}{2} y ponemos 2du3\frac{2 du}{3}:

      ∫2cos⁡(u)3 du\int \frac{2 \cos{\left(u \right)}}{3}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{2 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)3\frac{2 \sin{\left(u \right)}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      2sin⁡(3x2)3\frac{2 \sin{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}{3}

    Por lo tanto, el resultado es: −16sin⁡(3x2)27- \frac{16 \sin{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}{27}

  4. Añadimos la constante de integración:

    2x2sin⁡(3x2)3+8xcos⁡(3x2)9−16sin⁡(3x2)27+constant\frac{2 x^{2} \sin{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}{3} + \frac{8 x \cos{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}{9} - \frac{16 \sin{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}{27}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2x2sin⁡(3x2)3+8xcos⁡(3x2)9−16sin⁡(3x2)27+constant\frac{2 x^{2} \sin{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}{3} + \frac{8 x \cos{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}{9} - \frac{16 \sin{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}{27}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                           /3*x\      2    /3*x\          /3*x\
 |                      16*sin|---|   2*x *sin|---|   8*x*cos|---|
 |  2    /3*x\                \ 2 /           \ 2 /          \ 2 /
 | x *cos|---| dx = C - ----------- + ------------- + ------------
 |       \ 2 /               27             3              9      
 |                                                                
/
∫x2cos⁡(3x2) dx=C+2x2sin⁡(3x2)3+8xcos⁡(3x2)9−16sin⁡(3x2)27\int x^{2} \cos{\left(\frac{3 x}{2} \right)}\, dx = C + \frac{2 x^{2} \sin{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}{3} + \frac{8 x \cos{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}{9} - \frac{16 \sin{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}{27}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.000.25
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
2*sin(3/2)   8*cos(3/2)
---------- + ----------
    27           9
8cos⁡(32)9+2sin⁡(32)27\frac{8 \cos{\left(\frac{3}{2} \right)}}{9} + \frac{2 \sin{\left(\frac{3}{2} \right)}}{27} 
=
= 
2*sin(3/2)   8*cos(3/2)
---------- + ----------
    27           9
8cos⁡(32)9+2sin⁡(32)27\frac{8 \cos{\left(\frac{3}{2} \right)}}{9} + \frac{2 \sin{\left(\frac{3}{2} \right)}}{27} 
2*sin(3/2)/27 + 8*cos(3/2)/9
Respuesta numérica [src] 
0.13676603011974
0.13676603011974

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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