Integral de 5(tan^2(x)-4cot(x)) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 5 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} - 4 \cot{\left(x \right)}\right)\, dx = 5 \int \left(\tan^{2}{\left(x \right)} - 4 \cot{\left(x \right)}\right)\, dx$

   1. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\tan^{2}{\left(x \right)} = \sec^{2}{\left(x \right)} - 1$

      2. Integramos término a término:

         1. $\int \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = \tan{\left(x \right)}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

         El resultado es: $- x + \tan{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 4 \cot{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \cot{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

         2. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$

      El resultado es: $- x - 4 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + \tan{\left(x \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- 5 x - 20 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 5 \tan{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- 5 x - 20 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 5 \tan{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 5 x - 20 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 5 \tan{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$