Integral de x/(sqrt(8-5x))^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{\left(\sqrt{8 - 5 x}\right)^{3}} = - \frac{x}{5 x \sqrt{8 - 5 x} - 8 \sqrt{8 - 5 x}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x}{5 x \sqrt{8 - 5 x} - 8 \sqrt{8 - 5 x}}\right)\, dx = - \int \frac{x}{5 x \sqrt{8 - 5 x} - 8 \sqrt{8 - 5 x}}\, dx$

      1. que $u = \sqrt{8 - 5 x}$.

         Luego que $du = - \frac{5 dx}{2 \sqrt{8 - 5 x}}$ y ponemos $\frac{2 du}{5}$:

         $\int \frac{2 \left(\frac{8}{5} - \frac{u^{2}}{5}\right)}{5 u^{2}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\frac{8}{5} - \frac{u^{2}}{5}}{u^{2}}\, du = \frac{2 \int \frac{\frac{8}{5} - \frac{u^{2}}{5}}{u^{2}}\, du}{5}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{\frac{8}{5} - \frac{u^{2}}{5}}{u^{2}} = - \frac{1}{5} + \frac{8}{5 u^{2}}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \left(- \frac{1}{5}\right)\, du = - \frac{u}{5}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{8}{5 u^{2}}\, du = \frac{8 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{5}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8}{5 u}$

               El resultado es: $- \frac{u}{5} - \frac{8}{5 u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u}{25} - \frac{16}{25 u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{2 \sqrt{8 - 5 x}}{25} - \frac{16}{25 \sqrt{8 - 5 x}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \sqrt{8 - 5 x}}{25} + \frac{16}{25 \sqrt{8 - 5 x}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{\left(\sqrt{8 - 5 x}\right)^{3}} = \frac{x}{- 5 x \sqrt{8 - 5 x} + 8 \sqrt{8 - 5 x}}$

   2. que $u = \sqrt{8 - 5 x}$.

      Luego que $du = - \frac{5 dx}{2 \sqrt{8 - 5 x}}$ y ponemos $- \frac{2 du}{5}$:

      $\int \left(- \frac{2 \left(\frac{8}{5} - \frac{u^{2}}{5}\right)}{5 u^{2}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\frac{8}{5} - \frac{u^{2}}{5}}{u^{2}}\, du = - \frac{2 \int \frac{\frac{8}{5} - \frac{u^{2}}{5}}{u^{2}}\, du}{5}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{\frac{8}{5} - \frac{u^{2}}{5}}{u^{2}} = - \frac{1}{5} + \frac{8}{5 u^{2}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(- \frac{1}{5}\right)\, du = - \frac{u}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{8}{5 u^{2}}\, du = \frac{8 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{5}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8}{5 u}$

            El resultado es: $- \frac{u}{5} - \frac{8}{5 u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u}{25} + \frac{16}{25 u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \sqrt{8 - 5 x}}{25} + \frac{16}{25 \sqrt{8 - 5 x}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \left(16 - 5 x\right)}{25 \sqrt{8 - 5 x}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \left(16 - 5 x\right)}{25 \sqrt{8 - 5 x}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(16 - 5 x\right)}{25 \sqrt{8 - 5 x}}+ \mathrm{constant}$