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Resolución de integrales/ inxdx/ x^2+3/ 3*x-2/ (x^2+3*x-2)*sinxdx

Integral de (x^2+3*x-2)*sinxdx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                         
  /                         
 |                          
 |  / 2          \          
 |  \x  + 3*x - 2/*sin(x) dx
 |                          
/                           
0
∫01((x2+3x)−2)sin⁡(x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(\left(x^{2} + 3 x\right) - 2\right) \sin{\left(x \right)}\, dx 
Integral((x^2 + 3*x - 2)*sin(x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      ((x2+3x)−2)sin⁡(x)=x2sin⁡(x)+3xsin⁡(x)−2sin⁡(x)\left(\left(x^{2} + 3 x\right) - 2\right) \sin{\left(x \right)} = x^{2} \sin{\left(x \right)} + 3 x \sin{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=−2xu{\left(x \right)} = - 2 x y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=−2\operatorname{du}{\left(x \right)} = -2.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2sin⁡(x)) dx=−2∫sin⁡(x) dx\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡(x)2 \cos{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xsin⁡(x) dx=3∫xsin⁡(x) dx\int 3 x \sin{\left(x \right)}\, dx = 3 \int x \sin{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(x)) dx=−∫cos⁡(x) dx\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(x)- \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −3xcos⁡(x)+3sin⁡(x)- 3 x \cos{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2sin⁡(x)) dx=−2∫sin⁡(x) dx\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡(x)2 \cos{\left(x \right)}

      El resultado es: −x2cos⁡(x)+2xsin⁡(x)−3xcos⁡(x)+3sin⁡(x)+4cos⁡(x)- x^{2} \cos{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} - 3 x \cos{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=x2+3x−2u{\left(x \right)} = x^{2} + 3 x - 2 y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=2x+3\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x + 3.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=−2x−3u{\left(x \right)} = - 2 x - 3 y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=−2\operatorname{du}{\left(x \right)} = -2.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral del coseno es seno:

        ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−2sin⁡(x)) dx=−2∫sin⁡(x) dx\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)}\, dx

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡(x)2 \cos{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −x2cos⁡(x)+2xsin⁡(x)−3xcos⁡(x)+3sin⁡(x)+4cos⁡(x)+constant- x^{2} \cos{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} - 3 x \cos{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−x2cos⁡(x)+2xsin⁡(x)−3xcos⁡(x)+3sin⁡(x)+4cos⁡(x)+constant- x^{2} \cos{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} - 3 x \cos{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                        
 |                                                                                         
 | / 2          \                                        2                                 
 | \x  + 3*x - 2/*sin(x) dx = C + 3*sin(x) + 4*cos(x) - x *cos(x) - 3*x*cos(x) + 2*x*sin(x)
 |                                                                                         
/
∫((x2+3x)−2)sin⁡(x) dx=C−x2cos⁡(x)+2xsin⁡(x)−3xcos⁡(x)+3sin⁡(x)+4cos⁡(x)\int \left(\left(x^{2} + 3 x\right) - 2\right) \sin{\left(x \right)}\, dx = C - x^{2} \cos{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} - 3 x \cos{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-4 + 5*sin(1)
−4+5sin⁡(1)-4 + 5 \sin{\left(1 \right)} 
=
= 
-4 + 5*sin(1)
−4+5sin⁡(1)-4 + 5 \sin{\left(1 \right)} 
-4 + 5*sin(1)
Respuesta numérica [src] 
0.207354924039483
0.207354924039483

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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