Integral de (x+3)/(√2x^2+8x+2) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{x + 3}{\left(8 x + \left(\sqrt{2 x}\right)^{2}\right) + 2} = \frac{x}{10 x + 2} + \frac{3}{10 x + 2}$

2. Integramos término a término:

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{10 x + 2} = \frac{1}{10} - \frac{1}{10 \left(5 x + 1\right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{1}{10}\, dx = \frac{x}{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{10 \left(5 x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{5 x + 1}\, dx}{10}$

         1. que $u = 5 x + 1$.

            Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

            $\int \frac{1}{5 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{5}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(5 x + 1 \right)}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(5 x + 1 \right)}}{50}$

      El resultado es: $\frac{x}{10} - \frac{\log{\left(5 x + 1 \right)}}{50}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{3}{10 x + 2}\, dx = 3 \int \frac{1}{10 x + 2}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 10 x + 2$.

            Luego que $du = 10 dx$ y ponemos $\frac{du}{10}$:

            $\int \frac{1}{10 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{10}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{10}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(10 x + 2 \right)}}{10}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{10 x + 2} = \frac{1}{2 \left(5 x + 1\right)}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{2 \left(5 x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{5 x + 1}\, dx}{2}$

            1. que $u = 5 x + 1$.

               Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

               $\int \frac{1}{5 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{5}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(5 x + 1 \right)}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(5 x + 1 \right)}}{10}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \log{\left(10 x + 2 \right)}}{10}$

   El resultado es: $\frac{x}{10} - \frac{\log{\left(5 x + 1 \right)}}{50} + \frac{3 \log{\left(10 x + 2 \right)}}{10}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{x}{10} + \frac{7 \log{\left(5 x + 1 \right)}}{25} + \frac{3 \log{\left(2 \right)}}{10}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x}{10} + \frac{7 \log{\left(5 x + 1 \right)}}{25} + \frac{3 \log{\left(2 \right)}}{10}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x}{10} + \frac{7 \log{\left(5 x + 1 \right)}}{25} + \frac{3 \log{\left(2 \right)}}{10}+ \mathrm{constant}$