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Resolución de integrales/ log(x)/ (x^n-1)/log(x)

Integral de (x^n-1)/log(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  n          
  /          
 |           
 |   n       
 |  x  - 1   
 |  ------ dx
 |  log(x)   
 |           
/            
0
∫0nxn−1log⁡(x) dx\int\limits_{0}^{n} \frac{x^{n} - 1}{\log{\left(x \right)}}\, dx 
Integral((x^n - 1)/log(x), (x, 0, n))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ∫euenu−euu du\int \frac{e^{u} e^{n u} - e^{u}}{u}\, du

      1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

        Luego que du=−duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos −du- du:

        ∫(−e1uenu−e1uu) du\int \left(- \frac{e^{\frac{1}{u}} e^{\frac{n}{u}} - e^{\frac{1}{u}}}{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e1uenu−e1uu du=−∫e1uenu−e1uu du\int \frac{e^{\frac{1}{u}} e^{\frac{n}{u}} - e^{\frac{1}{u}}}{u}\, du = - \int \frac{e^{\frac{1}{u}} e^{\frac{n}{u}} - e^{\frac{1}{u}}}{u}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            e1uenu−e1uu=e1uenuu−e1uu\frac{e^{\frac{1}{u}} e^{\frac{n}{u}} - e^{\frac{1}{u}}}{u} = \frac{e^{\frac{1}{u}} e^{\frac{n}{u}}}{u} - \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u}

          2. Integramos término a término:

            1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

              Luego que du=−duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos −du- du:

              ∫(−euenuu) du\int \left(- \frac{e^{u} e^{n u}}{u}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫eueunu du=−∫eueunu du\int \frac{e^{u} e^{u n}}{u}\, du = - \int \frac{e^{u} e^{u n}}{u}\, du

                  EiRule(a=n + 1, b=0, context=exp(_u)*exp(_u*n)/_u, symbol=_u)

                Por lo tanto, el resultado es: −Ei⁡(u(n+1))- \operatorname{Ei}{\left(u \left(n + 1\right) \right)}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −Ei⁡(n+1u)- \operatorname{Ei}{\left(\frac{n + 1}{u} \right)}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−e1uu) du=−∫e1uu du\int \left(- \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u}\right)\, du = - \int \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u}\, du

              1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

                Luego que du=−duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos −du- du:

                ∫(−euu) du\int \left(- \frac{e^{u}}{u}\right)\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫euu du=−∫euu du\int \frac{e^{u}}{u}\, du = - \int \frac{e^{u}}{u}\, du

                    EiRule(a=1, b=0, context=exp(_u)/_u, symbol=_u)

                  Por lo tanto, el resultado es: −Ei⁡(u)- \operatorname{Ei}{\left(u \right)}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −Ei⁡(1u)- \operatorname{Ei}{\left(\frac{1}{u} \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: Ei⁡(1u)\operatorname{Ei}{\left(\frac{1}{u} \right)}

            El resultado es: Ei⁡(1u)−Ei⁡(n+1u)\operatorname{Ei}{\left(\frac{1}{u} \right)} - \operatorname{Ei}{\left(\frac{n + 1}{u} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −Ei⁡(1u)+Ei⁡(n+1u)- \operatorname{Ei}{\left(\frac{1}{u} \right)} + \operatorname{Ei}{\left(\frac{n + 1}{u} \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −Ei⁡(u)+Ei⁡(u(n+1))- \operatorname{Ei}{\left(u \right)} + \operatorname{Ei}{\left(u \left(n + 1\right) \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      Ei⁡((n+1)log⁡(x))−Ei⁡(log⁡(x))\operatorname{Ei}{\left(\left(n + 1\right) \log{\left(x \right)} \right)} - \operatorname{Ei}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      xn−1log⁡(x)=xnlog⁡(x)−1log⁡(x)\frac{x^{n} - 1}{\log{\left(x \right)}} = \frac{x^{n}}{\log{\left(x \right)}} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

        Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

        ∫euenuu du\int \frac{e^{u} e^{n u}}{u}\, du

          EiRule(a=n + 1, b=0, context=exp(_u)*exp(_u*n)/_u, symbol=_u)

        Si ahora sustituir uu más en:

        Ei⁡((n+1)log⁡(x))\operatorname{Ei}{\left(\left(n + 1\right) \log{\left(x \right)} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1log⁡(x)) dx=−∫1log⁡(x) dx\int \left(- \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\, dx

          LiRule(a=1, b=0, context=1/log(x), symbol=x)

        Por lo tanto, el resultado es: −li⁡(x)- \operatorname{li}{\left(x \right)}

      El resultado es: Ei⁡((n+1)log⁡(x))−li⁡(x)\operatorname{Ei}{\left(\left(n + 1\right) \log{\left(x \right)} \right)} - \operatorname{li}{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    Ei⁡((n+1)log⁡(x))−Ei⁡(log⁡(x))+constant\operatorname{Ei}{\left(\left(n + 1\right) \log{\left(x \right)} \right)} - \operatorname{Ei}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

Ei⁡((n+1)log⁡(x))−Ei⁡(log⁡(x))+constant\operatorname{Ei}{\left(\left(n + 1\right) \log{\left(x \right)} \right)} - \operatorname{Ei}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                               
 |                                                
 |  n                                             
 | x  - 1                                         
 | ------ dx = C - Ei(log(x)) + Ei((1 + n)*log(x))
 | log(x)                                         
 |                                                
/
∫xn−1log⁡(x) dx=C+Ei⁡((n+1)log⁡(x))−Ei⁡(log⁡(x))\int \frac{x^{n} - 1}{\log{\left(x \right)}}\, dx = C + \operatorname{Ei}{\left(\left(n + 1\right) \log{\left(x \right)} \right)} - \operatorname{Ei}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}
Simplificar
Respuesta [src] 
  n           
  /           
 |            
 |        n   
 |  -1 + x    
 |  ------- dx
 |   log(x)   
 |            
/             
0
∫0nxn−1log⁡(x) dx\int\limits_{0}^{n} \frac{x^{n} - 1}{\log{\left(x \right)}}\, dx 
=
= 
  n           
  /           
 |            
 |        n   
 |  -1 + x    
 |  ------- dx
 |   log(x)   
 |            
/             
0
∫0nxn−1log⁡(x) dx\int\limits_{0}^{n} \frac{x^{n} - 1}{\log{\left(x \right)}}\, dx 
Integral((-1 + x^n)/log(x), (x, 0, n))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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