Sr Examen

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Resolución de integrales/ x^3+5/ ln(x)/ (x^3+5×x)×ln(x)

Integral de (x^3+5×x)×ln(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                     
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 |                      
 |  / 3      \          
 |  \x  + 5*x/*log(x) dx
 |                      
/                       
0
∫01(x3+5x)log⁡(x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(x^{3} + 5 x\right) \log{\left(x \right)}\, dx 
Integral((x^3 + 5*x)*log(x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ∫(ue4u+5ue2u) du\int \left(u e^{4 u} + 5 u e^{2 u}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e4u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{4 u}.

          Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=4uu = 4 u.

            Luego que du=4dudu = 4 du y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫eu4 du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu4\frac{e^{u}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e4u4\frac{e^{4 u}}{4}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e4u4 du=∫e4u du4\int \frac{e^{4 u}}{4}\, du = \frac{\int e^{4 u}\, du}{4}

          1. que u=4uu = 4 u.

            Luego que du=4dudu = 4 du y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫eu4 du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu4\frac{e^{u}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e4u4\frac{e^{4 u}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: e4u16\frac{e^{4 u}}{16}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫5ue2u du=5∫ue2u du\int 5 u e^{2 u}\, du = 5 \int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: 5ue2u2−5e2u4\frac{5 u e^{2 u}}{2} - \frac{5 e^{2 u}}{4}

        El resultado es: ue4u4+5ue2u2−e4u16−5e2u4\frac{u e^{4 u}}{4} + \frac{5 u e^{2 u}}{2} - \frac{e^{4 u}}{16} - \frac{5 e^{2 u}}{4}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x4log⁡(x)4−x416+5x2log⁡(x)2−5x24\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16} + \frac{5 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{5 x^{2}}{4}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x3+5x)log⁡(x)=x3log⁡(x)+5xlog⁡(x)\left(x^{3} + 5 x\right) \log{\left(x \right)} = x^{3} \log{\left(x \right)} + 5 x \log{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

        Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

        ∫ue4u du\int u e^{4 u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e4u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{4 u}.

          Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=4uu = 4 u.

            Luego que du=4dudu = 4 du y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫eu4 du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu4\frac{e^{u}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e4u4\frac{e^{4 u}}{4}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e4u4 du=∫e4u du4\int \frac{e^{4 u}}{4}\, du = \frac{\int e^{4 u}\, du}{4}

          1. que u=4uu = 4 u.

            Luego que du=4dudu = 4 du y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫eu4 du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu4\frac{e^{u}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e4u4\frac{e^{4 u}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: e4u16\frac{e^{4 u}}{16}

        Si ahora sustituir uu más en:

        x4log⁡(x)4−x416\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5xlog⁡(x) dx=5∫xlog⁡(x) dx\int 5 x \log{\left(x \right)}\, dx = 5 \int x \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 5x2log⁡(x)2−5x24\frac{5 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{5 x^{2}}{4}

      El resultado es: x4log⁡(x)4−x416+5x2log⁡(x)2−5x24\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16} + \frac{5 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{5 x^{2}}{4}

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=x3+5x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{3} + 5 x.

      Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=x2u = x^{2}.

        Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos dudu:

        ∫(u2+52) du\int \left(\frac{u}{2} + \frac{5}{2}\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u2 du=∫u du2\int \frac{u}{2}\, du = \frac{\int u\, du}{2}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: u24\frac{u^{2}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫52 du=5u2\int \frac{5}{2}\, du = \frac{5 u}{2}

          El resultado es: u24+5u2\frac{u^{2}}{4} + \frac{5 u}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        x44+5x22\frac{x^{4}}{4} + \frac{5 x^{2}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. que u=x2u = x^{2}.

      Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos dudu:

      ∫(u8+54) du\int \left(\frac{u}{8} + \frac{5}{4}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u8 du=∫u du8\int \frac{u}{8}\, du = \frac{\int u\, du}{8}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: u216\frac{u^{2}}{16}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫54 du=5u4\int \frac{5}{4}\, du = \frac{5 u}{4}

        El resultado es: u216+5u4\frac{u^{2}}{16} + \frac{5 u}{4}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x416+5x24\frac{x^{4}}{16} + \frac{5 x^{2}}{4}

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x3+5x)log⁡(x)=x3log⁡(x)+5xlog⁡(x)\left(x^{3} + 5 x\right) \log{\left(x \right)} = x^{3} \log{\left(x \right)} + 5 x \log{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

        Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

        ∫ue4u du\int u e^{4 u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e4u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{4 u}.

          Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=4uu = 4 u.

            Luego que du=4dudu = 4 du y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫eu4 du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu4\frac{e^{u}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e4u4\frac{e^{4 u}}{4}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e4u4 du=∫e4u du4\int \frac{e^{4 u}}{4}\, du = \frac{\int e^{4 u}\, du}{4}

          1. que u=4uu = 4 u.

            Luego que du=4dudu = 4 du y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫eu4 du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu4\frac{e^{u}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e4u4\frac{e^{4 u}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: e4u16\frac{e^{4 u}}{16}

        Si ahora sustituir uu más en:

        x4log⁡(x)4−x416\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5xlog⁡(x) dx=5∫xlog⁡(x) dx\int 5 x \log{\left(x \right)}\, dx = 5 \int x \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 5x2log⁡(x)2−5x24\frac{5 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{5 x^{2}}{4}

      El resultado es: x4log⁡(x)4−x416+5x2log⁡(x)2−5x24\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16} + \frac{5 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{5 x^{2}}{4}

  2. Ahora simplificar:

    x2(4x2log⁡(x)−x2+40log⁡(x)−20)16\frac{x^{2} \left(4 x^{2} \log{\left(x \right)} - x^{2} + 40 \log{\left(x \right)} - 20\right)}{16}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x2(4x2log⁡(x)−x2+40log⁡(x)−20)16+constant\frac{x^{2} \left(4 x^{2} \log{\left(x \right)} - x^{2} + 40 \log{\left(x \right)} - 20\right)}{16}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2(4x2log⁡(x)−x2+40log⁡(x)−20)16+constant\frac{x^{2} \left(4 x^{2} \log{\left(x \right)} - x^{2} + 40 \log{\left(x \right)} - 20\right)}{16}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                              
 |                               2    4    4             2       
 | / 3      \                 5*x    x    x *log(x)   5*x *log(x)
 | \x  + 5*x/*log(x) dx = C - ---- - -- + --------- + -----------
 |                             4     16       4            2     
/
∫(x3+5x)log⁡(x) dx=C+x4log⁡(x)4−x416+5x2log⁡(x)2−5x24\int \left(x^{3} + 5 x\right) \log{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16} + \frac{5 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{5 x^{2}}{4}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-21 
----
 16
−2116- \frac{21}{16} 
=
= 
-21 
----
 16
−2116- \frac{21}{16} 
-21/16
Respuesta numérica [src] 
-1.3125
-1.3125

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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