Integral de (2x+1)/((x^2+2x+5)^2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 x + 1}{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 5\right)^{2}} = \frac{2 x + 1}{x^{4} + 4 x^{3} + 14 x^{2} + 20 x + 25}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 x + 1}{x^{4} + 4 x^{3} + 14 x^{2} + 20 x + 25} = \frac{2 x}{x^{4} + 4 x^{3} + 14 x^{2} + 20 x + 25} + \frac{1}{x^{4} + 4 x^{3} + 14 x^{2} + 20 x + 25}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 x}{x^{4} + 4 x^{3} + 14 x^{2} + 20 x + 25}\, dx = 2 \int \frac{x}{x^{4} + 4 x^{3} + 14 x^{2} + 20 x + 25}\, dx$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $- \frac{x + 5}{8 x^{2} + 16 x + 40} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \left(x + 5\right)}{8 x^{2} + 16 x + 40} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{8}$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\frac{x + 1}{8 x^{2} + 16 x + 40} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{16}$

      El resultado es: $\frac{x + 1}{8 x^{2} + 16 x + 40} - \frac{2 \left(x + 5\right)}{8 x^{2} + 16 x + 40} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{16}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 x + 1}{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 5\right)^{2}} = \frac{2 x}{x^{4} + 4 x^{3} + 14 x^{2} + 20 x + 25} + \frac{1}{x^{4} + 4 x^{3} + 14 x^{2} + 20 x + 25}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 x}{x^{4} + 4 x^{3} + 14 x^{2} + 20 x + 25}\, dx = 2 \int \frac{x}{x^{4} + 4 x^{3} + 14 x^{2} + 20 x + 25}\, dx$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $- \frac{x + 5}{8 x^{2} + 16 x + 40} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \left(x + 5\right)}{8 x^{2} + 16 x + 40} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{8}$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\frac{x + 1}{8 x^{2} + 16 x + 40} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{16}$

      El resultado es: $\frac{x + 1}{8 x^{2} + 16 x + 40} - \frac{2 \left(x + 5\right)}{8 x^{2} + 16 x + 40} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{16}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{2 x + \left(x^{2} + 2 x + 5\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right)} + 18}{16 x^{2} + 32 x + 80}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2 x + \left(x^{2} + 2 x + 5\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right)} + 18}{16 x^{2} + 32 x + 80}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2 x + \left(x^{2} + 2 x + 5\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right)} + 18}{16 x^{2} + 32 x + 80}+ \mathrm{constant}$