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Resolución de integrales/ 12x+1/ x^2-6/ (12x+11)dx/(9x^2-6x+2)

Integral de (12x+11)dx/(9x^2-6x+2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                  
  /                  
 |                   
 |    12*x + 11      
 |  -------------- dx
 |     2             
 |  9*x  - 6*x + 2   
 |                   
/                    
0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{12 x + 11}{\left(9 x^{2} - 6 x\right) + 2}\, dx$$ 
Integral((12*x + 11)/(9*x^2 - 6*x + 2), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /                 
 |                  
 |   12*x + 11      
 | -------------- dx
 |    2             
 | 9*x  - 6*x + 2   
 |                  
/
Reescribimos la función subintegral
                     9*2*x - 6                     
                 2*--------------         /15\     
                      2                   |--|     
  12*x + 11        9*x  - 6*x + 2         \1 /     
-------------- = ---------------- + ---------------
   2                    3                     2    
9*x  - 6*x + 2                      (-3*x + 1)  + 1
o
  /                   
 |                    
 |   12*x + 11        
 | -------------- dx  
 |    2              =
 | 9*x  - 6*x + 2     
 |                    
/                     
  
                               /                 
                              |                  
                              |   9*2*x - 6      
                           2* | -------------- dx
                              |    2             
     /                        | 9*x  - 6*x + 2   
    |                         |                  
    |        1               /                   
15* | --------------- dx + ----------------------
    |           2                    3           
    | (-3*x + 1)  + 1                            
    |                                            
   /
En integral
    /                 
   |                  
   |   9*2*x - 6      
2* | -------------- dx
   |    2             
   | 9*x  - 6*x + 2   
   |                  
  /                   
----------------------
          3
hacemos el cambio
              2
u = -6*x + 9*x
entonces
integral =
    /                       
   |                        
   |   1                    
2* | ----- du               
   | 2 + u                  
   |                        
  /             2*log(2 + u)
------------- = ------------
      3              3
hacemos cambio inverso
    /                                         
   |                                          
   |   9*2*x - 6                              
2* | -------------- dx                        
   |    2                                     
   | 9*x  - 6*x + 2                           
   |                          /             2\
  /                      2*log\2 - 6*x + 9*x /
---------------------- = ---------------------
          3                        3
En integral
     /                  
    |                   
    |        1          
15* | --------------- dx
    |           2       
    | (-3*x + 1)  + 1   
    |                   
   /
hacemos el cambio
v = 1 - 3*x
entonces
integral =
     /                      
    |                       
    |   1                   
15* | ------ dv = 15*atan(v)
    |      2                
    | 1 + v                 
    |                       
   /
hacemos cambio inverso
     /                                     
    |                                      
    |        1                             
15* | --------------- dx = 5*atan(-1 + 3*x)
    |           2                          
    | (-3*x + 1)  + 1                      
    |                                      
   /
La solución:
                            /2    2   2*x\
                       2*log|- + x  - ---|
                            \9         3 /
C + 5*atan(-1 + 3*x) + -------------------
                                3
Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                
 |                                                 /             2\
 |   12*x + 11                                2*log\2 - 6*x + 9*x /
 | -------------- dx = C + 5*atan(-1 + 3*x) + ---------------------
 |    2                                                 3          
 | 9*x  - 6*x + 2                                                  
 |                                                                 
/
$$\int \frac{12 x + 11}{\left(9 x^{2} - 6 x\right) + 2}\, dx = C + \frac{2 \log{\left(9 x^{2} - 6 x + 2 \right)}}{3} + 5 \operatorname{atan}{\left(3 x - 1 \right)}$$
Simplificar
Gráfica
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
            2*log(2/9)   2*log(5/9)   5*pi
5*atan(2) - ---------- + ---------- + ----
                3            3         4
$$\frac{2 \log{\left(\frac{5}{9} \right)}}{3} - \frac{2 \log{\left(\frac{2}{9} \right)}}{3} + \frac{5 \pi}{4} + 5 \operatorname{atan}{\left(2 \right)}$$ 
=
= 
            2*log(2/9)   2*log(5/9)   5*pi
5*atan(2) - ---------- + ---------- + ----
                3            3         4
$$\frac{2 \log{\left(\frac{5}{9} \right)}}{3} - \frac{2 \log{\left(\frac{2}{9} \right)}}{3} + \frac{5 \pi}{4} + 5 \operatorname{atan}{\left(2 \right)}$$ 
5*atan(2) - 2*log(2/9)/3 + 2*log(5/9)/3 + 5*pi/4
Respuesta numérica [src] 
10.0735948938738
10.0735948938738

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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