Integral de 1/e^x(3+e^-x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{3 u + 1}{u^{3}}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{3 u + 1}{u^{3}} = \frac{3}{u^{2}} + \frac{1}{u^{3}}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3}{u^{2}}\, du = 3 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3}{u}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

         El resultado es: $- \frac{3}{u} - \frac{1}{2 u^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 3 e^{- x} - \frac{e^{- 2 x}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{3 + e^{- x}}{e^{x}} = \left(3 e^{x} + 1\right) e^{- 2 x}$

   2. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{3 u + 1}{u^{3}}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{3 u + 1}{u^{3}} = \frac{3}{u^{2}} + \frac{1}{u^{3}}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3}{u^{2}}\, du = 3 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3}{u}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

         El resultado es: $- \frac{3}{u} - \frac{1}{2 u^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 3 e^{- x} - \frac{e^{- 2 x}}{2}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{3 + e^{- x}}{e^{x}} = e^{- x} e^{- x} + 3 e^{- x}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = e^{- x}$.

         Luego que $du = - e^{- x} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u\, du = - \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 e^{- x}\, dx = 3 \int e^{- x}\, dx$

         1. que $u = - x$.

            Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- e^{- x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3 e^{- x}$

      El resultado es: $- 3 e^{- x} - \frac{e^{- 2 x}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(6 e^{x} + 1\right) e^{- 2 x}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(6 e^{x} + 1\right) e^{- 2 x}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(6 e^{x} + 1\right) e^{- 2 x}}{2}+ \mathrm{constant}$