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Resolución de integrales/ 1/e^x/ 1/e^x(3+e^-x)

Integral de 1/e^x(3+e^-x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 log(3)          
    /            
   |             
   |        -x   
   |   3 + E     
   |   ------- dx
   |       x     
   |      E      
   |             
  /              
  0
∫0log⁡(3)3+e−xex dx\int\limits_{0}^{\log{\left(3 \right)}} \frac{3 + e^{- x}}{e^{x}}\, dx 
Integral((3 + E^(-x))/E^x, (x, 0, log(3)))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=exu = e^{x}.

      Luego que du=exdxdu = e^{x} dx y ponemos dudu:

      ∫3u+1u3 du\int \frac{3 u + 1}{u^{3}}\, du

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        3u+1u3=3u2+1u3\frac{3 u + 1}{u^{3}} = \frac{3}{u^{2}} + \frac{1}{u^{3}}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫3u2 du=3∫1u2 du\int \frac{3}{u^{2}}\, du = 3 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −3u- \frac{3}{u}

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

        El resultado es: −3u−12u2- \frac{3}{u} - \frac{1}{2 u^{2}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −3e−x−e−2x2- 3 e^{- x} - \frac{e^{- 2 x}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      3+e−xex=(3ex+1)e−2x\frac{3 + e^{- x}}{e^{x}} = \left(3 e^{x} + 1\right) e^{- 2 x}

    2. que u=exu = e^{x}.

      Luego que du=exdxdu = e^{x} dx y ponemos dudu:

      ∫3u+1u3 du\int \frac{3 u + 1}{u^{3}}\, du

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        3u+1u3=3u2+1u3\frac{3 u + 1}{u^{3}} = \frac{3}{u^{2}} + \frac{1}{u^{3}}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫3u2 du=3∫1u2 du\int \frac{3}{u^{2}}\, du = 3 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −3u- \frac{3}{u}

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

        El resultado es: −3u−12u2- \frac{3}{u} - \frac{1}{2 u^{2}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −3e−x−e−2x2- 3 e^{- x} - \frac{e^{- 2 x}}{2}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      3+e−xex=e−xe−x+3e−x\frac{3 + e^{- x}}{e^{x}} = e^{- x} e^{- x} + 3 e^{- x}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=e−xu = e^{- x}.

        Luego que du=−e−xdxdu = - e^{- x} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −e−2x2- \frac{e^{- 2 x}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3e−x dx=3∫e−x dx\int 3 e^{- x}\, dx = 3 \int e^{- x}\, dx

        1. que u=−xu = - x.

          Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos −du- du:

          ∫(−eu) du\int \left(- e^{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu- e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−x- e^{- x}

        Por lo tanto, el resultado es: −3e−x- 3 e^{- x}

      El resultado es: −3e−x−e−2x2- 3 e^{- x} - \frac{e^{- 2 x}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    −(6ex+1)e−2x2- \frac{\left(6 e^{x} + 1\right) e^{- 2 x}}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −(6ex+1)e−2x2+constant- \frac{\left(6 e^{x} + 1\right) e^{- 2 x}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−(6ex+1)e−2x2+constant- \frac{\left(6 e^{x} + 1\right) e^{- 2 x}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                              
 |                               
 |      -x                   -2*x
 | 3 + E               -x   e    
 | ------- dx = C - 3*e   - -----
 |     x                      2  
 |    E                          
 |                               
/
∫3+e−xex dx=C−3e−x−e−2x2\int \frac{3 + e^{- x}}{e^{x}}\, dx = C - 3 e^{- x} - \frac{e^{- 2 x}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
22/9
229\frac{22}{9} 
=
= 
22/9
229\frac{22}{9} 
22/9
Respuesta numérica [src] 
2.44444444444444
2.44444444444444

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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