Integral de sin^4(2x)cos(2x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

      Luego que $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{4}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{4}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{5}}{10}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{10}$

   Método #2

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

         1. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

            $\int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{10}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{10}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{10}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{10}+ \mathrm{constant}$