Integral de (5x+3)/(√x^2+4x+10) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{10 u^{3} + 6 u}{5 u^{2} + 10}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{10 u^{3} + 6 u}{5 u^{2} + 10} = 2 u - \frac{14 u}{5 \left(u^{2} + 2\right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u\, du = 2 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $u^{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{14 u}{5 \left(u^{2} + 2\right)}\right)\, du = - \frac{14 \int \frac{u}{u^{2} + 2}\, du}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u}{u^{2} + 2}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} + 2}\, du}{2}$

               1. que $u = u^{2} + 2$.

                  Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u^{2} + 2 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u^{2} + 2 \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{7 \log{\left(u^{2} + 2 \right)}}{5}$

         El resultado es: $u^{2} - \frac{7 \log{\left(u^{2} + 2 \right)}}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $x - \frac{7 \log{\left(x + 2 \right)}}{5}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{5 x + 3}{\left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} + 4 x\right) + 10} = \frac{5 x}{5 x + 10} + \frac{3}{5 x + 10}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5 x}{5 x + 10}\, dx = 5 \int \frac{x}{5 x + 10}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x}{5 x + 10} = \frac{1}{5} - \frac{2}{5 \left(x + 2\right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{5}\, dx = \frac{x}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{2}{5 \left(x + 2\right)}\right)\, dx = - \frac{2 \int \frac{1}{x + 2}\, dx}{5}$

               1. que $u = x + 2$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x + 2 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \log{\left(x + 2 \right)}}{5}$

            El resultado es: $\frac{x}{5} - \frac{2 \log{\left(x + 2 \right)}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x - 2 \log{\left(x + 2 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3}{5 x + 10}\, dx = 3 \int \frac{1}{5 x + 10}\, dx$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = 5 x + 10$.

               Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

               $\int \frac{1}{5 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{5}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(5 x + 10 \right)}}{5}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{1}{5 x + 10} = \frac{1}{5 \left(x + 2\right)}$

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{5 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 2}\, dx}{5}$

               1. que $u = x + 2$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x + 2 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \log{\left(5 x + 10 \right)}}{5}$

      El resultado es: $x - 2 \log{\left(x + 2 \right)} + \frac{3 \log{\left(5 x + 10 \right)}}{5}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x - \frac{7 \log{\left(x + 2 \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x - \frac{7 \log{\left(x + 2 \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$