Integral de (1-x^5)^4*x^4 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 1 - x^{5}$.

      Luego que $du = - 5 x^{4} dx$ y ponemos $- \frac{du}{5}$:

      $\int \left(- \frac{u^{4}}{5}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{4}\, du = - \frac{\int u^{4}\, du}{5}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{25}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(1 - x^{5}\right)^{5}}{25}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{4} \left(1 - x^{5}\right)^{4} = x^{24} - 4 x^{19} + 6 x^{14} - 4 x^{9} + x^{4}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{24}\, dx = \frac{x^{25}}{25}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 4 x^{19}\right)\, dx = - 4 \int x^{19}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{19}\, dx = \frac{x^{20}}{20}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{20}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6 x^{14}\, dx = 6 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{15}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 4 x^{9}\right)\, dx = - 4 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 x^{10}}{5}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      El resultado es: $\frac{x^{25}}{25} - \frac{x^{20}}{5} + \frac{2 x^{15}}{5} - \frac{2 x^{10}}{5} + \frac{x^{5}}{5}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{5} - 1\right)^{5}}{25}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{5} - 1\right)^{5}}{25}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{5} - 1\right)^{5}}{25}+ \mathrm{constant}$