Integral de (2*x^3-x*(5/2)+1)/x^(1/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(4 u^{6} - 5 u^{2} + 2\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 u^{6}\, du = 4 \int u^{6}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 u^{7}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 5 u^{2}\right)\, du = - 5 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 u^{3}}{3}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 2\, du = 2 u$

         El resultado es: $\frac{4 u^{7}}{7} - \frac{5 u^{3}}{3} + 2 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{4 x^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \sqrt{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(2 x^{3} - \frac{5 x}{2}\right) + 1}{\sqrt{x}} = \frac{4 x^{3} - 5 x + 2}{2 \sqrt{x}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{4 x^{3} - 5 x + 2}{2 \sqrt{x}}\, dx = \frac{\int \frac{4 x^{3} - 5 x + 2}{\sqrt{x}}\, dx}{2}$

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{4 u^{6} - 10 u^{4} + 8}{u^{8}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{4 u^{6} - 10 u^{4} + 8}{u^{8}}\, du = - \int \frac{4 u^{6} - 10 u^{4} + 8}{u^{8}}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{4 u^{6} - 10 u^{4} + 8}{u^{8}} = \frac{4}{u^{2}} - \frac{10}{u^{4}} + \frac{8}{u^{8}}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{4}{u^{2}}\, du = 4 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4}{u}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{10}{u^{4}}\right)\, du = - 10 \int \frac{1}{u^{4}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{10}{3 u^{3}}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{8}{u^{8}}\, du = 8 \int \frac{1}{u^{8}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{8}}\, du = - \frac{1}{7 u^{7}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8}{7 u^{7}}$

               El resultado es: $- \frac{4}{u} + \frac{10}{3 u^{3}} - \frac{8}{7 u^{7}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4}{u} - \frac{10}{3 u^{3}} + \frac{8}{7 u^{7}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{8 x^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 4 \sqrt{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \sqrt{x}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(2 x^{3} - \frac{5 x}{2}\right) + 1}{\sqrt{x}} = 2 x^{\frac{5}{2}} - \frac{5 \sqrt{x}}{2} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x^{\frac{5}{2}}\, dx = 2 \int x^{\frac{5}{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{5}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{\frac{7}{2}}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{5 \sqrt{x}}{2}\right)\, dx = - \frac{5 \int \sqrt{x}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

      El resultado es: $\frac{4 x^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \sqrt{x}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\sqrt{x} \left(12 x^{3} - 35 x + 42\right)}{21}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sqrt{x} \left(12 x^{3} - 35 x + 42\right)}{21}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{x} \left(12 x^{3} - 35 x + 42\right)}{21}+ \mathrm{constant}$