Integral de raiz(1+x)/raiz(x-1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x + 1$.

      Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(u^{5} - 8 u^{4} + 24 u^{3} - 32 u^{2} + 16 u\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 8 u^{4}\right)\, du = - 8 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8 u^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 24 u^{3}\, du = 24 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $6 u^{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 32 u^{2}\right)\, du = - 32 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{32 u^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 16 u\, du = 16 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $8 u^{2}$

         El resultado es: $\frac{u^{6}}{6} - \frac{8 u^{5}}{5} + 6 u^{4} - \frac{32 u^{3}}{3} + 8 u^{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x + 1\right)^{6}}{6} - \frac{8 \left(x + 1\right)^{5}}{5} + 6 \left(x + 1\right)^{4} - \frac{32 \left(x + 1\right)^{3}}{3} + 8 \left(x + 1\right)^{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{t \left(x + 1\right)}{t} \left(x - 1\right)^{4} = x^{5} - 3 x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{2} - 3 x + 1$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 x^{4}\right)\, dx = - 3 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{5}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x^{3}\, dx = 2 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x^{2}\, dx = 2 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 x\right)\, dx = - 3 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      El resultado es: $\frac{x^{6}}{6} - \frac{3 x^{5}}{5} + \frac{x^{4}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x + 1\right)^{2} \left(- 320 x + 5 \left(x + 1\right)^{4} - 48 \left(x + 1\right)^{3} + 180 \left(x + 1\right)^{2} - 80\right)}{30}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x + 1\right)^{2} \left(- 320 x + 5 \left(x + 1\right)^{4} - 48 \left(x + 1\right)^{3} + 180 \left(x + 1\right)^{2} - 80\right)}{30}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x + 1\right)^{2} \left(- 320 x + 5 \left(x + 1\right)^{4} - 48 \left(x + 1\right)^{3} + 180 \left(x + 1\right)^{2} - 80\right)}{30}+ \mathrm{constant}$