Integral de (2tx(x)+3cth(x))^2 dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\left(x 2 t x + 3 \coth{\left(x \right)}\right)^{2} = 4 t^{2} x^{4} + 12 t x^{2} \coth{\left(x \right)} + 9 \coth^{2}{\left(x \right)}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 4 t^{2} x^{4}\, dx = 4 t^{2} \int x^{4}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 t^{2} x^{5}}{5}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 12 t x^{2} \coth{\left(x \right)}\, dx = 12 t \int x^{2} \coth{\left(x \right)}\, dx$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\int x^{2} \coth{\left(x \right)}\, dx$

      Por lo tanto, el resultado es: $12 t \int x^{2} \coth{\left(x \right)}\, dx$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 9 \coth^{2}{\left(x \right)}\, dx = 9 \int \coth^{2}{\left(x \right)}\, dx$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $x - \frac{1}{\tanh{\left(x \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $9 x - \frac{9}{\tanh{\left(x \right)}}$

   El resultado es: $\frac{4 t^{2} x^{5}}{5} + 12 t \int x^{2} \coth{\left(x \right)}\, dx + 9 x - \frac{9}{\tanh{\left(x \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 t^{2} x^{5}}{5} + 12 t \int x^{2} \coth{\left(x \right)}\, dx + 9 x - \frac{9}{\tanh{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 t^{2} x^{5}}{5} + 12 t \int x^{2} \coth{\left(x \right)}\, dx + 9 x - \frac{9}{\tanh{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$