Integral de arcsin(x) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. que $u = 1 - x^{2}$.

   Luego que $du = - 2 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

   $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- \sqrt{1 - x^{2}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x \operatorname{asin}{\left(x \right)} + \sqrt{1 - x^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \operatorname{asin}{\left(x \right)} + \sqrt{1 - x^{2}}+ \mathrm{constant}$