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Resolución de integrales/ (1/x)/ arcsin/ arcsin(1/x)

Integral de arcsin(1/x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |      /1\   
 |  asin|-| dx
 |      \x/   
 |            
/             
0
∫01asin⁡(1x) dx\int\limits_{0}^{1} \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)}\, dx 
Integral(asin(1/x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=asin⁡(1x)u{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

    Entonces du⁡(x)=−1x21−1x2\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫(−1x1−1x2) dx=−∫1x1−1x2 dx\int \left(- \frac{1}{x \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}\, dx

    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

      {acosh⁡(x)for ∣x2∣>1−iasin⁡(x)otherwese\begin{cases} \operatorname{acosh}{\left(x \right)} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\- i \operatorname{asin}{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases}

    Por lo tanto, el resultado es: −{acosh⁡(x)for ∣x2∣>1−iasin⁡(x)otherwese- \begin{cases} \operatorname{acosh}{\left(x \right)} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\- i \operatorname{asin}{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases}

  3. Ahora simplificar:

    {xasin⁡(1x)+acosh⁡(x)for ∣x2∣>1xasin⁡(1x)−iasin⁡(x)otherwese\begin{cases} x \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \operatorname{acosh}{\left(x \right)} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\x \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)} - i \operatorname{asin}{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases}

  4. Añadimos la constante de integración:

    {xasin⁡(1x)+acosh⁡(x)for ∣x2∣>1xasin⁡(1x)−iasin⁡(x)otherwese+constant\begin{cases} x \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \operatorname{acosh}{\left(x \right)} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\x \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)} - i \operatorname{asin}{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

{xasin⁡(1x)+acosh⁡(x)for ∣x2∣>1xasin⁡(1x)−iasin⁡(x)otherwese+constant\begin{cases} x \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \operatorname{acosh}{\left(x \right)} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\x \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)} - i \operatorname{asin}{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                        
 |                              //                | 2|    \
 |     /1\                /1\   || acosh(x)   for |x | > 1|
 | asin|-| dx = C + x*asin|-| + |<                        |
 |     \x/                \x/   ||-I*asin(x)   otherwise  |
 |                              \\                        /
/
∫asin⁡(1x) dx=C+xasin⁡(1x)+{acosh⁡(x)for ∣x2∣>1−iasin⁡(x)otherwise\int \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)}\, dx = C + x \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \begin{cases} \operatorname{acosh}{\left(x \right)} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\- i \operatorname{asin}{\left(x \right)} & \text{otherwise} \end{cases}
Simplificar
Gráfica
0.999800.999820.999840.999860.999880.999900.999920.999940.999960.999981.571.59
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  1           
  /           
 |            
 |      /1\   
 |  asin|-| dx
 |      \x/   
 |            
/             
0
∫01asin⁡(1x) dx\int\limits_{0}^{1} \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)}\, dx 
=
= 
  1           
  /           
 |            
 |      /1\   
 |  asin|-| dx
 |      \x/   
 |            
/             
0
∫01asin⁡(1x) dx\int\limits_{0}^{1} \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)}\, dx 
Integral(asin(1/x), (x, 0, 1))
Respuesta numérica [src] 
(1.5707963267949 - 1.5707963267949j)
(1.5707963267949 - 1.5707963267949j)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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