Integral de (2*x^3-7*x^(2/5)+3)/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{\frac{2}{5}}$.

      Luego que $du = \frac{2 dx}{5 x^{\frac{3}{5}}}$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{- 10 u^{\frac{15}{2}} + 35 u - 15}{2 u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{- 10 u^{\frac{15}{2}} + 35 u - 15}{u}\, du = - \frac{\int \frac{- 10 u^{\frac{15}{2}} + 35 u - 15}{u}\, du}{2}$

         1. que $u = \frac{1}{u}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{10 u \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{15}{2}} + 15 u - 35}{u^{2}}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{10 u \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{15}{2}} + 15 u - 35}{u^{2}} = \frac{10 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{15}{2}}}{u} + \frac{15}{u} - \frac{35}{u^{2}}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{10 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{15}{2}}}{u}\, du = 10 \int \frac{\left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{15}{2}}}{u}\, du$

                  1. que $u = \frac{1}{u}$.

                     Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

                     $\int \left(- u^{\frac{13}{2}}\right)\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int u^{\frac{13}{2}}\, du = - \int u^{\frac{13}{2}}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{\frac{13}{2}}\, du = \frac{2 u^{\frac{15}{2}}}{15}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{\frac{15}{2}}}{15}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $- \frac{2 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{15}{2}}}{15}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{15}{2}}}{3}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{15}{u}\, du = 15 \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $15 \log{\left(u \right)}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{35}{u^{2}}\right)\, du = - 35 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{35}{u}$

               El resultado es: $- \frac{4 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{15}{2}}}{3} + 15 \log{\left(u \right)} + \frac{35}{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{4 u^{\frac{15}{2}}}{3} + 35 u - 15 \log{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{\frac{15}{2}}}{3} - \frac{35 u}{2} + \frac{15 \log{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{35 x^{\frac{2}{5}}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{15 \log{\left(x^{\frac{2}{5}} \right)}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(- 7 x^{\frac{2}{5}} + 2 x^{3}\right) + 3}{x} = 2 x^{2} + \frac{3}{x} - \frac{7}{x^{\frac{3}{5}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x^{2}\, dx = 2 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3}{x}\, dx = 3 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $3 \log{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{7}{x^{\frac{3}{5}}}\right)\, dx = - 7 \int \frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}\, dx = \frac{5 x^{\frac{2}{5}}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{35 x^{\frac{2}{5}}}{2}$

      El resultado es: $- \frac{35 x^{\frac{2}{5}}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + 3 \log{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{35 x^{\frac{2}{5}}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + 3 \log{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{35 x^{\frac{2}{5}}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + 3 \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{35 x^{\frac{2}{5}}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + 3 \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$