Integral de cos^2(x)*sin(2x)/2 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{2}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{3}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{2}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sin{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{3}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{2}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$