Integral de ((3*x+1)^4+5*(x^3)^(1/5)+2/(7*x)+3) dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. Integramos término a término:

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = 3 x + 1$.

               Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{u^{4}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{3}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{5}}{15}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\left(3 x + 1\right)^{5}}{15}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\left(3 x + 1\right)^{4} = 81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} + 12 x + 1$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 81 x^{4}\, dx = 81 \int x^{4}\, dx$

                  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{81 x^{5}}{5}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 108 x^{3}\, dx = 108 \int x^{3}\, dx$

                  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $27 x^{4}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 54 x^{2}\, dx = 54 \int x^{2}\, dx$

                  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $18 x^{3}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 12 x\, dx = 12 \int x\, dx$

                  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $6 x^{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, dx = x$

               El resultado es: $\frac{81 x^{5}}{5} + 27 x^{4} + 18 x^{3} + 6 x^{2} + x$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 5 \sqrt[5]{x^{3}}\, dx = 5 \int \sqrt[5]{x^{3}}\, dx$

            1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

               Pero la integral

               $\frac{5 x \sqrt[5]{x^{3}}}{8}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{25 x \sqrt[5]{x^{3}}}{8}$

         El resultado es: $\frac{25 x \sqrt[5]{x^{3}}}{8} + \frac{\left(3 x + 1\right)^{5}}{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2}{7 x}\, dx = 2 \int \frac{1}{7 x}\, dx$

         1. que $u = 7 x$.

            Luego que $du = 7 dx$ y ponemos $\frac{du}{7}$:

            $\int \frac{1}{7 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{7}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{7}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(7 x \right)}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \log{\left(7 x \right)}}{7}$

      El resultado es: $\frac{25 x \sqrt[5]{x^{3}}}{8} + \frac{\left(3 x + 1\right)^{5}}{15} + \frac{2 \log{\left(7 x \right)}}{7}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 3\, dx = 3 x$

   El resultado es: $\frac{25 x \sqrt[5]{x^{3}}}{8} + 3 x + \frac{\left(3 x + 1\right)^{5}}{15} + \frac{2 \log{\left(7 x \right)}}{7}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{25 x \sqrt[5]{x^{3}}}{8} + 3 x + \frac{\left(3 x + 1\right)^{5}}{15} + \frac{2 \log{\left(7 x \right)}}{7}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{25 x \sqrt[5]{x^{3}}}{8} + 3 x + \frac{\left(3 x + 1\right)^{5}}{15} + \frac{2 \log{\left(7 x \right)}}{7}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{25 x \sqrt[5]{x^{3}}}{8} + 3 x + \frac{\left(3 x + 1\right)^{5}}{15} + \frac{2 \log{\left(7 x \right)}}{7}+ \mathrm{constant}$