Integral de (3x+4)e^(3x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 x$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{u e^{u}}{3} + \frac{4 e^{u}}{3}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u e^{u}}{3}\, du = \frac{\int u e^{u}\, du}{3}$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u e^{u}}{3} - \frac{e^{u}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{4 e^{u}}{3}\, du = \frac{4 \int e^{u}\, du}{3}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 e^{u}}{3}$

         El resultado es: $\frac{u e^{u}}{3} + e^{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $x e^{3 x} + e^{3 x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{3 x} \left(3 x + 4\right) = 3 x e^{3 x} + 4 e^{3 x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x e^{3 x}\, dx = 3 \int x e^{3 x}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{3 x}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = 3 x$.

               Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{3 x}}{3}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{3 x}}{3}\, dx = \frac{\int e^{3 x}\, dx}{3}$

            1. que $u = 3 x$.

               Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{3 x}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{3 x}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 e^{3 x}\, dx = 4 \int e^{3 x}\, dx$

         1. que $u = 3 x$.

            Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{3 x}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 e^{3 x}}{3}$

      El resultado es: $x e^{3 x} + e^{3 x}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{3 x} \left(3 x + 4\right) = 3 x e^{3 x} + 4 e^{3 x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x e^{3 x}\, dx = 3 \int x e^{3 x}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{3 x}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = 3 x$.

               Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{3 x}}{3}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{3 x}}{3}\, dx = \frac{\int e^{3 x}\, dx}{3}$

            1. que $u = 3 x$.

               Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{3 x}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{3 x}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 e^{3 x}\, dx = 4 \int e^{3 x}\, dx$

         1. que $u = 3 x$.

            Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{3 x}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 e^{3 x}}{3}$

      El resultado es: $x e^{3 x} + e^{3 x}$

2. Ahora simplificar:

   $\left(x + 1\right) e^{3 x}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\left(x + 1\right) e^{3 x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(x + 1\right) e^{3 x}+ \mathrm{constant}$