Integral de (arcsin2x)/(√(1-(4x^2))) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \operatorname{asin}{\left(2 x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{2 dx}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u\, du = \frac{\int u\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\operatorname{asin}^{2}{\left(2 x \right)}}{4}$

   Método #2

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\operatorname{asin}{\left(u \right)}}{2 \sqrt{1 - u^{2}}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\operatorname{asin}{\left(u \right)}}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du = \frac{\int \frac{\operatorname{asin}{\left(u \right)}}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du}{2}$

         1. que $u = \operatorname{asin}{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = \frac{du}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ y ponemos $du$:

            $\int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\operatorname{asin}^{2}{\left(u \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\operatorname{asin}^{2}{\left(u \right)}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\operatorname{asin}^{2}{\left(2 x \right)}}{4}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\operatorname{asin}^{2}{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\operatorname{asin}^{2}{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$