Integral de (-4x^2)/(1-2x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(-1\right) 4 x^{2}}{1 - 2 x} = 2 x + 1 + \frac{1}{2 x - 1}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      1. que $u = 2 x - 1$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$

      El resultado es: $x^{2} + x + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(-1\right) 4 x^{2}}{1 - 2 x} = \frac{4 x^{2}}{2 x - 1}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{4 x^{2}}{2 x - 1}\, dx = 4 \int \frac{x^{2}}{2 x - 1}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{2}}{2 x - 1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4 \left(2 x - 1\right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{4 \left(2 x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{2 x - 1}\, dx}{4}$

            1. que $u = 2 x - 1$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{8}$

         El resultado es: $\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{8}$

      Por lo tanto, el resultado es: $x^{2} + x + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x^{2} + x + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x^{2} + x + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$