Integral de (2x+1)(1+√2x+1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{\sqrt{u}}{2} + u + 1\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}\, du = \frac{\int u^{\frac{3}{2}}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{\frac{3}{2}}\, du = \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\sqrt{u}}{2}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         El resultado es: $\frac{u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{u^{2}}{2} + u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{4 \sqrt{2} x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 x^{2} + 2 x$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 x + 1\right) \left(\left(\sqrt{2 x} + 1\right) + 1\right) = 2 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}} + \sqrt{2} \sqrt{x} + 4 x + 2$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}\, dx = 2 \sqrt{2} \int x^{\frac{3}{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \sqrt{2} x^{\frac{5}{2}}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt{2} \sqrt{x}\, dx = \sqrt{2} \int \sqrt{x}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 x\, dx = 4 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 2\, dx = 2 x$

      El resultado es: $\frac{4 \sqrt{2} x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 x^{2} + 2 x$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 \sqrt{2} x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 x^{2} + 2 x+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 \sqrt{2} x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 x^{2} + 2 x+ \mathrm{constant}$