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Resolución de integrales/ sin2x/ 2x*dx/ cos2x/ sin2x*dx/(√1+√cos2x)

Integral de sin2x*dx/(√1+√cos2x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                        
  /                        
 |                         
 |        sin(2*x)         
 |  -------------------- dx
 |    ___     __________   
 |  \/ 1  + \/ cos(2*x)    
 |                         
/                          
0
∫01sin⁡(2x)cos⁡(2x)+1 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sqrt{\cos{\left(2 x \right)}} + \sqrt{1}}\, dx 
Integral(sin(2*x)/(sqrt(1) + sqrt(cos(2*x))), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=2xu = 2 x.

      Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos dudu:

      ∫sin⁡(u)2cos⁡(u)+2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \sqrt{\cos{\left(u \right)}} + 2}\, du

      1. que u=cos⁡(u)u = \sqrt{\cos{\left(u \right)}}.

        Luego que du=−sin⁡(u)du2cos⁡(u)du = - \frac{\sin{\left(u \right)} du}{2 \sqrt{\cos{\left(u \right)}}} y ponemos −du- du:

        ∫(−uu+1) du\int \left(- \frac{u}{u + 1}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫uu+1 du=−∫uu+1 du\int \frac{u}{u + 1}\, du = - \int \frac{u}{u + 1}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            uu+1=1−1u+1\frac{u}{u + 1} = 1 - \frac{1}{u + 1}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 du=u\int 1\, du = u

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−1u+1) du=−∫1u+1 du\int \left(- \frac{1}{u + 1}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du

              1. que u=u+1u = u + 1.

                Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(u+1)\log{\left(u + 1 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u+1)- \log{\left(u + 1 \right)}

            El resultado es: u−log⁡(u+1)u - \log{\left(u + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −u+log⁡(u+1)- u + \log{\left(u + 1 \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(cos⁡(u)+1)−cos⁡(u)\log{\left(\sqrt{\cos{\left(u \right)}} + 1 \right)} - \sqrt{\cos{\left(u \right)}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log⁡(cos⁡(2x)+1)−cos⁡(2x)\log{\left(\sqrt{\cos{\left(2 x \right)}} + 1 \right)} - \sqrt{\cos{\left(2 x \right)}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡(2x)cos⁡(2x)+1=sin⁡(2x)cos⁡(2x)+1\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sqrt{\cos{\left(2 x \right)}} + \sqrt{1}} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sqrt{\cos{\left(2 x \right)}} + 1}

    2. que u=cos⁡(2x)u = \sqrt{\cos{\left(2 x \right)}}.

      Luego que du=−sin⁡(2x)dxcos⁡(2x)du = - \frac{\sin{\left(2 x \right)} dx}{\sqrt{\cos{\left(2 x \right)}}} y ponemos −du- du:

      ∫(−uu+1) du\int \left(- \frac{u}{u + 1}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫uu+1 du=−∫uu+1 du\int \frac{u}{u + 1}\, du = - \int \frac{u}{u + 1}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          uu+1=1−1u+1\frac{u}{u + 1} = 1 - \frac{1}{u + 1}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 du=u\int 1\, du = u

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−1u+1) du=−∫1u+1 du\int \left(- \frac{1}{u + 1}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du

            1. que u=u+1u = u + 1.

              Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(u+1)\log{\left(u + 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u+1)- \log{\left(u + 1 \right)}

          El resultado es: u−log⁡(u+1)u - \log{\left(u + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −u+log⁡(u+1)- u + \log{\left(u + 1 \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log⁡(cos⁡(2x)+1)−cos⁡(2x)\log{\left(\sqrt{\cos{\left(2 x \right)}} + 1 \right)} - \sqrt{\cos{\left(2 x \right)}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡(2x)cos⁡(2x)+1=sin⁡(2x)cos⁡(2x)+1\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sqrt{\cos{\left(2 x \right)}} + \sqrt{1}} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sqrt{\cos{\left(2 x \right)}} + 1}

    2. que u=cos⁡(2x)u = \sqrt{\cos{\left(2 x \right)}}.

      Luego que du=−sin⁡(2x)dxcos⁡(2x)du = - \frac{\sin{\left(2 x \right)} dx}{\sqrt{\cos{\left(2 x \right)}}} y ponemos −du- du:

      ∫(−uu+1) du\int \left(- \frac{u}{u + 1}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫uu+1 du=−∫uu+1 du\int \frac{u}{u + 1}\, du = - \int \frac{u}{u + 1}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          uu+1=1−1u+1\frac{u}{u + 1} = 1 - \frac{1}{u + 1}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 du=u\int 1\, du = u

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−1u+1) du=−∫1u+1 du\int \left(- \frac{1}{u + 1}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du

            1. que u=u+1u = u + 1.

              Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(u+1)\log{\left(u + 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u+1)- \log{\left(u + 1 \right)}

          El resultado es: u−log⁡(u+1)u - \log{\left(u + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −u+log⁡(u+1)- u + \log{\left(u + 1 \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log⁡(cos⁡(2x)+1)−cos⁡(2x)\log{\left(\sqrt{\cos{\left(2 x \right)}} + 1 \right)} - \sqrt{\cos{\left(2 x \right)}}

    Método #4

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(2x)+1 dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(2x)+1 dx\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\cos{\left(2 x \right)}} + \sqrt{1}}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\cos{\left(2 x \right)}} + \sqrt{1}}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(2x)+1=sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(2x)+1\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\cos{\left(2 x \right)}} + \sqrt{1}} = \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\cos{\left(2 x \right)}} + 1}

      2. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(2x)+1=sin⁡(x)cos⁡(x)2cos⁡2(x)−1+1\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\cos{\left(2 x \right)}} + 1} = \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1} + 1}

      3. que u=2cos⁡2(x)−1u = \sqrt{2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1}.

        Luego que du=−2sin⁡(x)cos⁡(x)dx2cos⁡2(x)−1du = - \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx}{\sqrt{2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1}} y ponemos −du- du:

        ∫(−u2u+2) du\int \left(- \frac{u}{2 u + 2}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u2u+2 du=−∫u2u+2 du\int \frac{u}{2 u + 2}\, du = - \int \frac{u}{2 u + 2}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            u2u+2=12−12(u+1)\frac{u}{2 u + 2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−12(u+1)) du=−∫1u+1 du2\int \left(- \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{2}

              1. que u=u+1u = u + 1.

                Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(u+1)\log{\left(u + 1 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u+1)2- \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}

            El resultado es: u2−log⁡(u+1)2\frac{u}{2} - \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −u2+log⁡(u+1)2- \frac{u}{2} + \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −2cos⁡2(x)−12+log⁡(2cos⁡2(x)−1+1)2- \frac{\sqrt{2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1}}{2} + \frac{\log{\left(\sqrt{2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1} + 1 \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡2(x)−1+log⁡(2cos⁡2(x)−1+1)- \sqrt{2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1} + \log{\left(\sqrt{2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1} + 1 \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    log⁡(cos⁡(2x)+1)−cos⁡(2x)+constant\log{\left(\sqrt{\cos{\left(2 x \right)}} + 1 \right)} - \sqrt{\cos{\left(2 x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

log⁡(cos⁡(2x)+1)−cos⁡(2x)+constant\log{\left(\sqrt{\cos{\left(2 x \right)}} + 1 \right)} - \sqrt{\cos{\left(2 x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                  
 |                                                                   
 |       sin(2*x)                  __________      /      __________\
 | -------------------- dx = C - \/ cos(2*x)  + log\1 + \/ cos(2*x) /
 |   ___     __________                                              
 | \/ 1  + \/ cos(2*x)                                               
 |                                                                   
/
∫sin⁡(2x)cos⁡(2x)+1 dx=C+log⁡(cos⁡(2x)+1)−cos⁡(2x)\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sqrt{\cos{\left(2 x \right)}} + \sqrt{1}}\, dx = C + \log{\left(\sqrt{\cos{\left(2 x \right)}} + 1 \right)} - \sqrt{\cos{\left(2 x \right)}}
Simplificar
Gráfica
0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.650.700.752-1
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
      ________               /      ________\
1 - \/ cos(2)  - log(2) + log\1 + \/ cos(2) /
−log⁡(2)+1−cos⁡(2)+log⁡(1+cos⁡(2))- \log{\left(2 \right)} + 1 - \sqrt{\cos{\left(2 \right)}} + \log{\left(1 + \sqrt{\cos{\left(2 \right)}} \right)} 
=
= 
      ________               /      ________\
1 - \/ cos(2)  - log(2) + log\1 + \/ cos(2) /
−log⁡(2)+1−cos⁡(2)+log⁡(1+cos⁡(2))- \log{\left(2 \right)} + 1 - \sqrt{\cos{\left(2 \right)}} + \log{\left(1 + \sqrt{\cos{\left(2 \right)}} \right)} 
1 - sqrt(cos(2)) - log(2) + log(1 + sqrt(cos(2)))
Respuesta numérica [src] 
(0.480866131603242 - 0.0722865361133552j)
(0.480866131603242 - 0.0722865361133552j)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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