Integral de 2x^2(x^3-1)^4 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{3} - 1$.

      Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{2 du}{3}$:

      $\int \frac{2 u^{4}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{4}\, du = \frac{2 \int u^{4}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{5}}{15}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \left(x^{3} - 1\right)^{5}}{15}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $2 x^{2} \left(x^{3} - 1\right)^{4} = 2 x^{14} - 8 x^{11} + 12 x^{8} - 8 x^{5} + 2 x^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x^{14}\, dx = 2 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{15}}{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 8 x^{11}\right)\, dx = - 8 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 x^{12}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 12 x^{8}\, dx = 12 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{9}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 8 x^{5}\right)\, dx = - 8 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 x^{6}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x^{2}\, dx = 2 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3}$

      El resultado es: $\frac{2 x^{15}}{15} - \frac{2 x^{12}}{3} + \frac{4 x^{9}}{3} - \frac{4 x^{6}}{3} + \frac{2 x^{3}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \left(x^{3} - 1\right)^{5}}{15}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \left(x^{3} - 1\right)^{5}}{15}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(x^{3} - 1\right)^{5}}{15}+ \mathrm{constant}$