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Resolución de integrales/ cosx+1/ sin2x/ (sin2x)/(cosx+1)

Integral de (sin2x)/(cosx+1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1              
  /              
 |               
 |   sin(2*x)    
 |  ---------- dx
 |  cos(x) + 1   
 |               
/                
0
∫01sin⁡(2x)cos⁡(x)+1 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\, dx 
Integral(sin(2*x)/(cos(x) + 1), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(x)+1 dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(x)+1 dx\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\, dx

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−uu+1) du\int \left(- \frac{u}{u + 1}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫uu+1 du=−∫uu+1 du\int \frac{u}{u + 1}\, du = - \int \frac{u}{u + 1}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            uu+1=1−1u+1\frac{u}{u + 1} = 1 - \frac{1}{u + 1}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 du=u\int 1\, du = u

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−1u+1) du=−∫1u+1 du\int \left(- \frac{1}{u + 1}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du

              1. que u=u+1u = u + 1.

                Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(u+1)\log{\left(u + 1 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u+1)- \log{\left(u + 1 \right)}

            El resultado es: u−log⁡(u+1)u - \log{\left(u + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −u+log⁡(u+1)- u + \log{\left(u + 1 \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(cos⁡(x)+1)−cos⁡(x)\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} - \cos{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(cos⁡(x)+1)−2cos⁡(x)2 \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡(2x)cos⁡(x)+1=2sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(x)+1\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} = \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(x)+1 dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(x)+1 dx\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\, dx

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−uu+1) du\int \left(- \frac{u}{u + 1}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫uu+1 du=−∫uu+1 du\int \frac{u}{u + 1}\, du = - \int \frac{u}{u + 1}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            uu+1=1−1u+1\frac{u}{u + 1} = 1 - \frac{1}{u + 1}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 du=u\int 1\, du = u

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−1u+1) du=−∫1u+1 du\int \left(- \frac{1}{u + 1}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du

              1. que u=u+1u = u + 1.

                Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(u+1)\log{\left(u + 1 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u+1)- \log{\left(u + 1 \right)}

            El resultado es: u−log⁡(u+1)u - \log{\left(u + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −u+log⁡(u+1)- u + \log{\left(u + 1 \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(cos⁡(x)+1)−cos⁡(x)\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} - \cos{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(cos⁡(x)+1)−2cos⁡(x)2 \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    2log⁡(cos⁡(x)+1)−2cos⁡(x)+constant2 \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2log⁡(cos⁡(x)+1)−2cos⁡(x)+constant2 \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                
 |                                                 
 |  sin(2*x)                                       
 | ---------- dx = C - 2*cos(x) + 2*log(1 + cos(x))
 | cos(x) + 1                                      
 |                                                 
/
∫sin⁡(2x)cos⁡(x)+1 dx=C+2log⁡(cos⁡(x)+1)−2cos⁡(x)\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\, dx = C + 2 \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901-1
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
2 - 2*cos(1) - 2*log(2) + 2*log(1 + cos(1))
−2log⁡(2)−2cos⁡(1)+2log⁡(cos⁡(1)+1)+2- 2 \log{\left(2 \right)} - 2 \cos{\left(1 \right)} + 2 \log{\left(\cos{\left(1 \right)} + 1 \right)} + 2 
=
= 
2 - 2*cos(1) - 2*log(2) + 2*log(1 + cos(1))
−2log⁡(2)−2cos⁡(1)+2log⁡(cos⁡(1)+1)+2- 2 \log{\left(2 \right)} - 2 \cos{\left(1 \right)} + 2 \log{\left(\cos{\left(1 \right)} + 1 \right)} + 2 
2 - 2*cos(1) - 2*log(2) + 2*log(1 + cos(1))
Respuesta numérica [src] 
0.39705842648883
0.39705842648883

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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