Integral de (t-1)*((1-t)-1) dt

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 1 - t$.

      Luego que $du = - dt$ y ponemos $du$:

      $\int \left(u^{2} - u\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

         El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} - \frac{u^{2}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(1 - t\right)^{3}}{3} - \frac{\left(1 - t\right)^{2}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(t - 1\right) \left(\left(1 - t\right) - 1\right) = - t^{2} + t$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- t^{2}\right)\, dt = - \int t^{2}\, dt$

         1. Integral $t^{n}$ es $\frac{t^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int t^{2}\, dt = \frac{t^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{t^{3}}{3}$

      1. Integral $t^{n}$ es $\frac{t^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int t\, dt = \frac{t^{2}}{2}$

      El resultado es: $- \frac{t^{3}}{3} + \frac{t^{2}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(t - 1\right)^{2} \left(2 t + 1\right)}{6}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(t - 1\right)^{2} \left(2 t + 1\right)}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(t - 1\right)^{2} \left(2 t + 1\right)}{6}+ \mathrm{constant}$