Integral de (x^5)*3^(5-2*x^6) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 5 - 2 x^{6}$.

      Luego que $du = - 12 x^{5} dx$ y ponemos $- \frac{du}{12}$:

      $\int \left(- \frac{3^{u}}{12}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3^{u}\, du = - \frac{\int 3^{u}\, du}{12}$

         1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3^{u}}{12 \log{\left(3 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{3^{5 - 2 x^{6}}}{12 \log{\left(3 \right)}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $3^{5 - 2 x^{6}} x^{5} = 243 \cdot 3^{- 2 x^{6}} x^{5}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 243 \cdot 3^{- 2 x^{6}} x^{5}\, dx = 243 \int 3^{- 2 x^{6}} x^{5}\, dx$

      1. que $u = - 2 x^{6}$.

         Luego que $du = - 12 x^{5} dx$ y ponemos $- \frac{du}{12}$:

         $\int \left(- \frac{3^{u}}{12}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3^{u}\, du = - \frac{\int 3^{u}\, du}{12}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3^{u}}{12 \log{\left(3 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{3^{- 2 x^{6}}}{12 \log{\left(3 \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{81 \cdot 3^{- 2 x^{6}}}{4 \log{\left(3 \right)}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $3^{5 - 2 x^{6}} x^{5} = 243 \cdot 3^{- 2 x^{6}} x^{5}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 243 \cdot 3^{- 2 x^{6}} x^{5}\, dx = 243 \int 3^{- 2 x^{6}} x^{5}\, dx$

      1. que $u = - 2 x^{6}$.

         Luego que $du = - 12 x^{5} dx$ y ponemos $- \frac{du}{12}$:

         $\int \left(- \frac{3^{u}}{12}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3^{u}\, du = - \frac{\int 3^{u}\, du}{12}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3^{u}}{12 \log{\left(3 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{3^{- 2 x^{6}}}{12 \log{\left(3 \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{81 \cdot 3^{- 2 x^{6}}}{4 \log{\left(3 \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{3^{4 - 2 x^{6}}}{4 \log{\left(3 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{3^{4 - 2 x^{6}}}{4 \log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{3^{4 - 2 x^{6}}}{4 \log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}$