Integral de sin(2x)/(cos(2x))^5 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \cos^{5}{\left(u \right)}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos^{5}{\left(u \right)}}\, du = \frac{\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos^{5}{\left(u \right)}}\, du}{2}$

         1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{u^{5}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \int \frac{1}{u^{5}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{4 u^{4}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{1}{4 \cos^{4}{\left(u \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{8 \cos^{4}{\left(u \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{1}{8 \cos^{4}{\left(2 x \right)}}$

   Método #2

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos^{5}{\left(2 x \right)}}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos^{5}{\left(2 x \right)}}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos^{5}{\left(2 x \right)}} = \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{32 \cos^{10}{\left(x \right)} - 80 \cos^{8}{\left(x \right)} + 80 \cos^{6}{\left(x \right)} - 40 \cos^{4}{\left(x \right)} + 10 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1}$

      2. que $u = \cos^{2}{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{1}{64 u^{5} - 160 u^{4} + 160 u^{3} - 80 u^{2} + 20 u - 2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{64 u^{5} - 160 u^{4} + 160 u^{3} - 80 u^{2} + 20 u - 2}\, du = - \int \frac{1}{64 u^{5} - 160 u^{4} + 160 u^{3} - 80 u^{2} + 20 u - 2}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{1}{64 u^{5} - 160 u^{4} + 160 u^{3} - 80 u^{2} + 20 u - 2} = \frac{1}{2 \left(2 u - 1\right)^{5}}$

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{2 \left(2 u - 1\right)^{5}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\left(2 u - 1\right)^{5}}\, du}{2}$

               1. que $u = 2 u - 1$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{2 u^{5}}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{5}}\, du}{2}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{8 u^{4}}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{1}{8 \left(2 u - 1\right)^{4}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{16 \left(2 u - 1\right)^{4}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{16 \left(2 u - 1\right)^{4}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{1}{16 \left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{4}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{8 \left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{4}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{1}{8 \cos^{4}{\left(2 x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{1}{8 \cos^{4}{\left(2 x \right)}}+ \mathrm{constant}$