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Resolución de integrales/ (2x-5)/ cos(4*x)/ (2x-5)*cos(4*x)

Integral de (2x-5)*cos(4*x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
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 |  (2*x - 5)*cos(4*x) dx
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0
∫01(2x−5)cos⁡(4x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(2 x - 5\right) \cos{\left(4 x \right)}\, dx 
Integral((2*x - 5)*cos(4*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=2xu = 2 x.

      Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos dudu:

      ∫(ucos⁡(2u)2−5cos⁡(2u)2) du\int \left(\frac{u \cos{\left(2 u \right)}}{2} - \frac{5 \cos{\left(2 u \right)}}{2}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫ucos⁡(2u)2 du=∫ucos⁡(2u) du2\int \frac{u \cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int u \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=cos⁡(2u)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(2 u \right)}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2u)2\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(2u)2 du=∫sin⁡(2u) du2\int \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin{\left(2 u \right)}\, du}{2}

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

              Método #1

              1. que u=2uu = 2 u.

                Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                    ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −cos⁡(2u)2- \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}

              Método #2

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫2sin⁡(u)cos⁡(u) du=2∫sin⁡(u)cos⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du

                1. que u=cos⁡(u)u = \cos{\left(u \right)}.

                  Luego que du=−sin⁡(u)dudu = - \sin{\left(u \right)} du y ponemos −du- du:

                  ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                    1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                      ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                    Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  −cos⁡2(u)2- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡2(u)- \cos^{2}{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2u)4- \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: usin⁡(2u)4+cos⁡(2u)8\frac{u \sin{\left(2 u \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{8}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−5cos⁡(2u)2) du=−5∫cos⁡(2u) du2\int \left(- \frac{5 \cos{\left(2 u \right)}}{2}\right)\, du = - \frac{5 \int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2u)2\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −5sin⁡(2u)4- \frac{5 \sin{\left(2 u \right)}}{4}

        El resultado es: usin⁡(2u)4−5sin⁡(2u)4+cos⁡(2u)8\frac{u \sin{\left(2 u \right)}}{4} - \frac{5 \sin{\left(2 u \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{8}

      Si ahora sustituir uu más en:

      xsin⁡(4x)2−5sin⁡(4x)4+cos⁡(4x)8\frac{x \sin{\left(4 x \right)}}{2} - \frac{5 \sin{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2x−5)cos⁡(4x)=2xcos⁡(4x)−5cos⁡(4x)\left(2 x - 5\right) \cos{\left(4 x \right)} = 2 x \cos{\left(4 x \right)} - 5 \cos{\left(4 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xcos⁡(4x) dx=2∫xcos⁡(4x) dx\int 2 x \cos{\left(4 x \right)}\, dx = 2 \int x \cos{\left(4 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(4x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(4x)4 dx=∫sin⁡(4x) dx4\int \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \sin{\left(4 x \right)}\, dx}{4}

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(4x)4- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(4x)16- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{16}

        Por lo tanto, el resultado es: xsin⁡(4x)2+cos⁡(4x)8\frac{x \sin{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−5cos⁡(4x)) dx=−5∫cos⁡(4x) dx\int \left(- 5 \cos{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - 5 \int \cos{\left(4 x \right)}\, dx

        1. que u=4xu = 4 x.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −5sin⁡(4x)4- \frac{5 \sin{\left(4 x \right)}}{4}

      El resultado es: xsin⁡(4x)2−5sin⁡(4x)4+cos⁡(4x)8\frac{x \sin{\left(4 x \right)}}{2} - \frac{5 \sin{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8}

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=2x−5u{\left(x \right)} = 2 x - 5 y que dv⁡(x)=cos⁡(4x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=4xu = 4 x.

        Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

        ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫sin⁡(4x)2 dx=∫sin⁡(4x) dx2\int \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

      1. que u=4xu = 4 x.

        Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

        ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(4x)4- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(4x)8- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8}

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2x−5)cos⁡(4x)=2xcos⁡(4x)−5cos⁡(4x)\left(2 x - 5\right) \cos{\left(4 x \right)} = 2 x \cos{\left(4 x \right)} - 5 \cos{\left(4 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xcos⁡(4x) dx=2∫xcos⁡(4x) dx\int 2 x \cos{\left(4 x \right)}\, dx = 2 \int x \cos{\left(4 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(4x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(4x)4 dx=∫sin⁡(4x) dx4\int \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \sin{\left(4 x \right)}\, dx}{4}

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(4x)4- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(4x)16- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{16}

        Por lo tanto, el resultado es: xsin⁡(4x)2+cos⁡(4x)8\frac{x \sin{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−5cos⁡(4x)) dx=−5∫cos⁡(4x) dx\int \left(- 5 \cos{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - 5 \int \cos{\left(4 x \right)}\, dx

        1. que u=4xu = 4 x.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −5sin⁡(4x)4- \frac{5 \sin{\left(4 x \right)}}{4}

      El resultado es: xsin⁡(4x)2−5sin⁡(4x)4+cos⁡(4x)8\frac{x \sin{\left(4 x \right)}}{2} - \frac{5 \sin{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8}

  2. Añadimos la constante de integración:

    xsin⁡(4x)2−5sin⁡(4x)4+cos⁡(4x)8+constant\frac{x \sin{\left(4 x \right)}}{2} - \frac{5 \sin{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

xsin⁡(4x)2−5sin⁡(4x)4+cos⁡(4x)8+constant\frac{x \sin{\left(4 x \right)}}{2} - \frac{5 \sin{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                              
 |                             5*sin(4*x)   cos(4*x)   x*sin(4*x)
 | (2*x - 5)*cos(4*x) dx = C - ---------- + -------- + ----------
 |                                 4           8           2     
/
∫(2x−5)cos⁡(4x) dx=C+xsin⁡(4x)2−5sin⁡(4x)4+cos⁡(4x)8\int \left(2 x - 5\right) \cos{\left(4 x \right)}\, dx = C + \frac{x \sin{\left(4 x \right)}}{2} - \frac{5 \sin{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  1   3*sin(4)   cos(4)
- - - -------- + ------
  8      4         8
−18+cos⁡(4)8−3sin⁡(4)4- \frac{1}{8} + \frac{\cos{\left(4 \right)}}{8} - \frac{3 \sin{\left(4 \right)}}{4} 
=
= 
  1   3*sin(4)   cos(4)
- - - -------- + ------
  8      4         8
−18+cos⁡(4)8−3sin⁡(4)4- \frac{1}{8} + \frac{\cos{\left(4 \right)}}{8} - \frac{3 \sin{\left(4 \right)}}{4} 
-1/8 - 3*sin(4)/4 + cos(4)/8
Respuesta numérica [src] 
0.360896418872995
0.360896418872995

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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