Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{5^{n}}{3}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \left(n + 2\right)! = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{5^{n}}{3 \left(n + 2\right)!}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{5^{n}}{3 \left(n + 2\right)!}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{5^{n}}{3}}{\frac{d}{d n} \left(n + 2\right)!}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{5^{n} \log{\left(5 \right)}}{3 \Gamma\left(n + 3\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 3 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{5^{n} \log{\left(5 \right)}}{3 \Gamma\left(n + 3\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 3 \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)