Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 8*x/(-4+x)
- Límite de (e^(a*x)-cos(a*x))/(e^(b*x)-cos(b*x))
-
Límite de (2+x)*(6-x)/x^2
-
Límite de (-2-7*x+4*x^2)/(-2-9*x+5*x^2)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(x*(ocho +x))-x
- raíz cuadrada de (x multiplicar por (8 más x)) menos x
- raíz cuadrada de (x multiplicar por (ocho más x)) menos x
- √(x*(8+x))-x
- sqrt(x(8+x))-x
- sqrtx8+x-x
-
Expresiones semejantes
- sqrt(x*(8-x))-x
- sqrt(x*(8+x))+x
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(2+x^2-x)-sqrt(-3+x^2)
- sqrt(4-x)-sqrt(3+x)-sqrt(4+x)/sqrt(3-x)
- sqrt(4-2*n+9*n^2)-3*n
- sqrt(x*(-5+x))-x
- sqrt(8-2*x^2+3/x^3+4*x)*(-2/5+x/5)
Límite de la función sqrt(x*(8+x))-x
Solución
Ha introducido
[src]
/ ___________ \ lim \\/ x*(8 + x) - x/ x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 8\right)}\right)$$
Limit(sqrt(x*(8 + x)) - x, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 8\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{x \left(x + 8\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 8\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \sqrt{x \left(x + 8\right)}\right) \left(x + \sqrt{x \left(x + 8\right)}\right)}{x + \sqrt{x \left(x + 8\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(\sqrt{x \left(x + 8\right)}\right)^{2}}{x + \sqrt{x \left(x + 8\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + x \left(x + 8\right)}{x + \sqrt{x \left(x + 8\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + x \left(x + 8\right)}{x + \sqrt{x \left(x + 8\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8}{1 + \frac{\sqrt{x^{2} + 8 x}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8}{\sqrt{\frac{x + 8}{x}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8}{\sqrt{1 + \frac{8}{x}} + 1}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8}{\sqrt{1 + \frac{8}{x}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{8}{\sqrt{8 u + 1} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{8}{1 + \sqrt{0 \cdot 8 + 1}} = 4$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 8\right)}\right) = 4$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 8\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{x \left(x + 8\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 8\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \sqrt{x \left(x + 8\right)}\right) \left(x + \sqrt{x \left(x + 8\right)}\right)}{x + \sqrt{x \left(x + 8\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(\sqrt{x \left(x + 8\right)}\right)^{2}}{x + \sqrt{x \left(x + 8\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + x \left(x + 8\right)}{x + \sqrt{x \left(x + 8\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + x \left(x + 8\right)}{x + \sqrt{x \left(x + 8\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8}{1 + \frac{\sqrt{x^{2} + 8 x}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8}{\sqrt{\frac{x + 8}{x}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8}{\sqrt{1 + \frac{8}{x}} + 1}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8}{\sqrt{1 + \frac{8}{x}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{8}{\sqrt{8 u + 1} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{8}{1 + \sqrt{0 \cdot 8 + 1}} = 4$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 8\right)}\right) = 4$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 8\right)}\right) = 4$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 8\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 8\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 8\right)}\right) = 2$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 8\right)}\right) = 2$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 8\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 8\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 8\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 8\right)}\right) = 2$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 8\right)}\right) = 2$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \sqrt{x \left(x + 8\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo